DD PÔLE ET DE LA POLAIRE. Ô

*400. Toute droite a-t-elle un pôle ? Je prends cette droite pour axe des y, et je compte les abscisses sur le diamètre dont les cordes conjuguées lui sont parallèles; de cette manière , l’équation de la courbe sera de la forme

Aj’-f-Cr,-f-Ex-l-F=0 ,

et, par conséquent , celle de la polaire d'un point quelconque (a, £) sera (398 et 148)

2A|ir-f(2Ca-fE)*-fEa+2F=0 [3].

Si donc on veut que le point (a, (5) soit le pôle de la droite donnée, il faudra que cette équation se réduise à

ce qui exige que l’on ait

(3=0 et Ea-j-2F=0 [4];

donc toute droite a un pôle qui est situé sur le diamètre dont les cordes conjuguées sont parallèles à cette droite.

Ce pôle est situé à l’infini, si la droite donnée passe par le centre, puisque alors E=0.

*401. Théorème. Si un point mobile glisse le long d’une ligne droite , sa polaire tournera autour du pôle de cette droite.

Prenons , en effet , cette droite pour axe des jr , et pour axe des x le diamètre dont les cordes conjuguées lui sont parallèles, l’équation de la polaire d’un point quelconque (0, (3) de cette droite sera (598)

2A3j--j-Ex-f-2F =0.

L’abscisse à l’origine de cette droite est indépendante de (3; et comme cette abscisse est précisément la valeur de a donnég par la formule [4], on conclut que les polaires de tous les points de la droite donnée vont se croiser au pôle même de cette droite.

* 402. Corollaire I. Pour obtenir le pôle d’une droite, il suffira de construire les polaires de deu~c de ses points , et le point et intersection de ces deux polaires sera le point demandé.

* 403. Corollaire II. Pour mener une tangente à une courbe du second ordre par un point pris sur cette courbe ,

tirez une sécante quelconque par ce point , cherchez son pôle et joignez-le au point donné.

*40 4. Corollaire III. Si plusieurs angles circonscrits à une courbe du second ordre ont leurs sommets en ligne droite , leurs cordes de contact iront concourir en un même point, situé sur le diamètre dont les cordes conjuguées sont parallèles à cette droite; car ces cordes sont les polaires de ces sommets. Cette propriété résulte très-simplement de la» considération des valeurs que nous avons trouvées (279, 330 et 369) pour construire la droite qui joint les points de contact de deux tangentes issues du même point.

* 403. Théorème. Si une droite tourne autour d'un point fixe , son pôle décrira la polaire de ce point.

Prenons, en effet, pour axe des x le diamètre tiré par ce point , et comptons les ordonnées sur une parallèle menée par ce point aux cordes conjuguées de ce diamètre. La courbe du second ordre et la polaire d’un point quelconque (a, (ï) seront représentées par les équations [1] et [3]; mais si l’on veut que ce point soit le pôle d’une droite passant par le point donné, il faudra que l’équation [3] soit vérifiée par .r=0 et ^=0; donc

Ea-j-2F=0.

Cette équation étant indépendante de et n’étant autre que l’équation [2] dans laquelle on a remplacé x par a , on en conclut que le pôle de toute droite menée par le point donné, est situé sur la polaire de ce point.

*406. Corollaire I. La droite qui joint les pôles de deux droites est la polaire de leur point d’ intersection ; car le pôle de cette droite doit se trouver à la fois sur ces deux polaires.

*407. Corollaire II. Si les cordes de contact de tant d'angles que l’on coudra circonscrits à une courbe du second ordre, concourent en un même point, les sommets de ces angles se fronceront sur une même droite parallèle aux cordes conjuguées du diamètre qui passe par ce point ; car ces sommets sont les pôles de ces cordes.

Fig. 138 *408. Il suit du n° 406, que si deux polygones dun

même nombre de côtés tracés sur le plan dune courbe du second ordre, sont tels que les sommets A, B, C ,.... de l’un

nu PÔLE ET DE LA POLAIRE.

soient les pôles des côtés a, b, c,.... de l'autre, réciproquement les sommets ab, bc, du second (deux droites étant

désignées en général par m et par n , leur point d'intersection pourral’être par rnn) seront les pôles des côtés AB, BC... (lu premier, et de plus le point de concours de deux côtés ou de deux diagonales quelconques de l'un sera le pôle de la droite qui joindra les sommets-pôles de ces deux côtés ou les pôles de ces deux diagonales dans l’autre. Ainsi, par exemple, le point ad de concours des deux côtés a et </, est le pôle de la droite AD qui joint les sommets A et D, pôles respectifs de a et de d.

A raison de ces deux propriétés corrélatives, les deux polygones sont appelés polaires réciproques l’un de l’autre, par rapport à la courbe qui est dite leur directrice.

Ce théorème , qui s’étend à des courbes quelconques , puisqu’il est indépendant du nombre et de la grandeur des côtés des polygones, sert de base à une belle théorie que son auteur, M. Poncelet, a nommée Théorie des polaires réciproques, et de laquelle il a déduit une multitude de belles propositions qu’il serait fort difficile de démontrer d’une autre manière.