Si l’on applique le théorème que nous venons de do

RELATIONS ENTRE LES ÉLÉMENTS D’üN TRIANGLE. 69

montrer successivement aux trois angles A, B et C du triangle ABC, on obtiendra les trois équations suivantes :

2ôccos A=ff 2«ccos B=rt’ 2 ab cosC=a*

qui fournissent la solution complète du problème général que se propose la trigonométrie, puisqu’elles renferment les six éléments de tout triangle, et qu’ainsi, lorsque l’on connaîtra trois de ces quantités , on pourra en déduire les trois autres. Cependant , s’il s’agissait de calculer les trois côtés en fonction des trois angles , on devrait trouver des valeurs indéterminées pour les inconnues a , b , c , puisque tous les triangles équiangles ont leurs côtés homologues proportionnels.

Le problème de la résolution des triangles est donc ramené à une simple question d’algèbre , à la résolution des équations [50]. Or, les formules qui donneront les valeurs des inconnues, contiendront chacune l’inconnue et les trois données , c’est-à-dire quatre des éléments du triangle; et comme, avec ces six éléments, on ne peut former que les quatre combinaisons suivantes :

Un cri te et les trois angles ;

Deux côtés et les angles opposés ;

Deux côtes, l'angle compris et l'angle opposé à l'un d’eux ;

Trois côtés et un angle,

il ne peut pas y avoir plus de quatre classes de formules à chercher. Mais une équation ne peut pas renfermer un côté et les trois angles , sans quoi il serait possible de résoudre un triangle dont on ne connaîtrait que les angles; d’un autre côté, notre théorème fondamental nous donne une relation entre les trois côtés et un angle ; ainsi il n’y a réellement à chercher que les formules de la seconde et de la troisième classe : c’est ce que nous allons faire en commençant par le cas des triangles rectangles.

Comme l’angle droit est alors une donnée de la question , et que les deux angles aigus d’un pareil triangle étant complémentaires, le sinus ou la tangente de l’un pourra être remplacé par

le cosinus ou parla cotangente de l’autre, et vice versa, il faudra trouver deux équations qui contiendront respectivement :

L hypoténuse , un côte de l'angle droit et un angle ;

Les deux côtés de l'angle droit et un angle. .

Fig. 12. 57. Je suppose donc que l’angle A soit droit : j’exprimerai

cette condition dans la seconde des équations [50], en y écrivant que a*=ô*-|-c’, et je trouverai aitsi , toutes réductions faites,

c=«cosB,

ce qui nous apprend que, dans tout triangle rectangle , chaque côté de l'angle droit est le produit de P hypoténuse par le cosinus de l'angle adjacent ou par le sinus de l’angle opposé ; car cos B=sin C.

58. Il suit de là que la projection d'une droite sur une autre est égale au produit de cette droite multipliée par le cosinus de l'angle aigu qu’elles font entre elles. En effet,

Fig. 13. supposons que par les extrémités de la droite AB on ait mené deux plans perpendiculaires à la droite indéfinie UV, la portion A'B' de cette droite comprise entre eux sera la projection de AB. Mais, si par le point A on tire une parallèle AC à UV, terminée en C à la rencontre du plan qui passe par le point B, cette droite AC sera égale à A'B', et l’angle BAC qu’elle formera avec AB sera ce qu’on est convenu d’appeler l’angle a de AB avec UV ; or, le triangle rectangle ABC donne AC = AB. cos BAC , ou bien A'B'=AB.cos a , ce qu’il fallait démontrer.