CHAPITRE XVI

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DBS COURBES DU SECOND ORDRE

409. Problème. Étant donnée une équation à deux variables et à coefficients arbitraires, déterminer ces coefficients de manière que la courbe qu’elle représente passe par certains points donnés (a, b), (a', b'), (af', b"),...

Soit ç(x,^”) = 0 l’équation proposée : puisque la courbe qu’elle représente passe par le point (a, b), il faut et il suffit que cette équation soit vérifiée, quand on y remplacera x et y, respectivement par a et b\ donc

Il est clair que nous aurons autant d’équations analogues à celles-ci, qu’il y a de points par lesquels la courbe doit passer; et comme ces équations ne renfermeront pas d’autres inconnues que les coefficients arbitraires de la proposée, elles serviront à les déterminer.

Supposons que l’équation tfx,y)—0 soit la plus générale du degré m : elle renfermera donc — termes, et

i » (m— I— }— 2) . ra(m4-3) rc • , w

par conséquent - — — ' — 1 — ^ — - coethcients arbi-

traires, puisqu’on peut toujours réduire à l’unité le coefficient de l’un quelconque de ses termes. Donc , on ne peut pas se proposer de faire passer une courbe de l’ordre ni par

plus de points donnés. Ainsi, on ne saurait tracer

une courbe du second ordre par plus de cinq points pris au hasard.

Les équations de condition étant du premier degré par rapport aux coefficients arbitraires de l’équation ^Çx,f)=0, on voit qu’on en tirera toujours des valeurs réelles pour ces coefficients; de sorte qu’il ai généralement possible de faire

passer une courbe de l’ordre m pa/--"^-- points donnés; je

dis généralement, parce que plusieurs des équations de con-

PROPRIÉTÉS DES COURBES DU SECOND ORDRE. Ml

dition pourraient être contradictoires. C’est ce qui arriverait nécessairement, si (m-\- 1 ) des points donnés étaient situés en ligne droite (65).

Si le nombre des points donnés était moindre que

le problème serait indéterminé, et il y aurait par conséquent une infinité de courbes de l’ordre m qui pourraient passer par ces points*.

410. Problème. Trouver t équation dune courbe du second ordre assujettie à passer par cinq points donnés sur un plan.

* Il suit de cette théorie, que le nombre des points nécessaires pour déterminer une courbe donnée par son équation la plus générale, c’està-dire, quand cette courbe occupe une position quelconque par rapport aux axes des coordonnées, est égal au nombre des constantes arbitraires contenues dans cette équation. Observons toutefois que cette règle pourrait indiquer un nombre de points trop considérable, si , dans l’équation projtosée, le nombre des termes distincts renfermant les constantes arbitraires, était moindre que celui de ces constantes. Ainsi l’équation y — [a -f- b)x. 4- ale renferme cinq constantes arbitraires, et cependant deux points suflisent pour déterminer la droite qu’elle représente. C’est qu’en effet , quels que soient les changements que pourront éprouver les constantes , l’équation représentera toujours la même ligne , si les deux quantités ( a l) et ale restent invariables. 11 sera donc plus général de dire que pour obtenir le nombre des points nécessaires r\ la détermination d'une courbe donnée par son écpiation la plus générale , il faudra compter séparément le nombre des constantes arbitraires qui entrent dans cette équation, et celui des termes distincts qui les contiennent ; le plus petit de ces deux nombres sera la réponse à la question.

Si l’on n’a qu’une équation particulière de la courbe proposée, c’està-dire, une équation qui soit relative à une certaine situation de la courbe à l’égard des axes, on ramènera ce cas au précédent en gt'-néralisant l’équation proposée, ce qui se fera en changeant à la fois I origine et la direction des axes, mais sans altérer leur inclinaison mutuelle; car cette transformation d’axes équivaut à un changement de position de la courbe par rapport aux axes que l’on considère (94 et 97). On introduira ainsi trois nouvelles constantes arbitraires a, b, a, dans l’équation proposée, et on appliquera ensuite la règle précédente.

Remarque/, que si la transformation des coordonnées n’apporte pas dans l’équation de nouveaux termes qui soient fonction des constantes arbitraires, ce sera un signe que l’équation proposée avait tout le degré de généralité possible.

Veut-on savoir, par exemple, combien il faut de points pour déterminer une cissoïde , on observera que l’équation particulière que nous avons trouvée (80) renfermant une seule constante , l’équation générale de

Fig. 139 Soient A, B, C, D, E les cinq points donnés, je prends les droites \B et CD pour axes des y et des x , et je désigne les coordonnées de ces points par

A(o, a), B(o, b), C(c, o) , D (</,<>), E (p,q). L’équation de la courbe demandée sera de la forme

A/-f B*j-f Cr*-(- 1) /-f Ex -f F = 0 [1]. Maintenant si nous y faisons ^=0, l’équation résultante G^-f-Er-f F=0

devra avoir pour racines les abscisses c et d des deux points C et D ; donc

c</=^, c-\-dz= —

et partant L = — , Jb== ~-r.

On aura donc aussi , par une simple permutation de lettres ,

ab

de sorte qu’il ne s’agit plus que de déterminer le coefficient B, et on a pour cela l’équation de condition

A^-l-F^+C/^-j-Dy-J-E/j-J-F = 0,

de laquelle on tire

/*/L n‘} * Ctt 1 J

On substituera les valeurs trouvées pour A, B, C, I), E, dans l’équation [1], et en supprimant le facteur F commun à tous les termes de l’équation résultante, on obtiendra l’équation demandée. Comme les valeurs des coefficients A, B, C, D, E sont uniques, et en général finies, il s’ensuit qu'on peut se proposer de faire passer une courbe du second ordre par

cette courbe en renfermera quatre ; et comme il y aura plus de quatre termes qui les contiendront , on en conclura que quatre points déterminent une eissoïde. S’il s’agissait, au contraire, d’un cercle représenté par ,r! -f-y,ï — r*=0, il entrerait quatre constantes dans son équation transformée ; mais comme les coefficients des carrés des variables seraient encore l’unité, il n’y aurait que trois termes qui seraient fonction des constantes arbitraires; d’où l'on conclurait qiie trois conditions suffisent pour déterminer un cercle.

PROPRIÉTÉS DES COURBES DU SECOND ORDRE. /il 3

cinq points donnés sur un plan, mais qu’on ne peut en faire passer qu’une.

Supposons que trois des cinq points donnés, C, D, E par exemple, soient en ligne droite, on aura q~ 0, et ainsi la valeur de B sera alors infinie; donc, avant de faire cette hypothèse q-=- 0 dans l'équation trouvée, on devra faire évanouir les dénominateurs; et en exprimant ensuite que q est nul, on trouvera

équation qui représente le système des deux axes, comme il était facile de le prévoir.

Il est important de remarquer que, comme l’équation [1j renferme cinq coefficients indéterminés, si l’on assujettissait la courbe qu elle doit représenter à satisfaire à une certaine condition, le nombre des éléments vraiment arbitraires et indépendants se trouvant réduit à quatre, on ne pourrait plus sc donner que quatre points par lesquels la courbe devrait passer.

On pourra supposer, comme exercice , que le centre ou un foyer doive se trouver sur une courbe donnée; que ce centre ou ce foyer soit donné; que l’un des axes doive avoir une direction déterminée*; que sa longueur soit connue ; qu’il soit donné en grandeur et en position ; que l’on connaisse un diamètre et la direction de ses cordes conjuguées; une tangente, une asymptote; les deux asymptotes, etc., etc.

Si l’on veut que la courbe soit une parabole , on aura

ainsi quatre points déterminent une parabole. Toutefois le problème aura deux solutions , puisque cette équation donnera pour B deux valeurs. L’équation de la parabole qui passera par les quatre points A, B, C, Dsera

cdy- iz abcd.xf-\- abx 1 — cd(a -{- li)y — ab(c -|- d) r

-fabcd—0 [2].

* Si cet axe est désigné, il faudra employer l’équation focale (262; plutôt que l'equation [t], parce que te grand axe de l’ellipse ou l'axe transverse de r hyperbole est une perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice, et que le petit axe ou l’axe imaginaire est une parallèle à cette droite menée par le centre.

Fig. 139 Tâchons de retrouver les éléments de l’une de ces paraboles,

de celle, par exemple, qui correspond au signe supérieur. On voit d’abord que l'équation du diamètre dont les cordes conjuguées sont parallèles à l’axe des y est

équation facile à construire. Soit l’K ce diamètre : il ne s’agira plus que de déterminer son extrémité (304). Pour y parvenir, je suppose que la parabole soit rapportée au diamètre FK. et à la tangante à son extrémité, son équation sera de la forme y1=2px. Or, si l’on appelle («, (2) et (a', Ç>) les coordonnées des points B et C par rapport à ces axes, on aura (i*=2/>a, $i=2pal, équations desquelles on tire facilement

BV-a)

ce qui détermine la position du sommet; car tout est connu dans le second membre de cette équation , puisque al — ot=KE.

411. Pascal a découvert une proposition fort remarquable qui fournit un moyen très-simple de décrire une courbe du second ordre assujettie à passer par cinq points donnés , en n’employant que la règle seulement.

Nous déduirons ce théorème, que l’on a nommé Xhexagramme mystique de Pascal, du Lemme suivant :

Lemme. Si trois lignes du second ordre ont une corde commune , les autres cordes communes à ces courbes , prises deux à deux , se couperont en un meme point.

Fig. uo Prenons la corde commune AB pour l’axe des x, et plaçons l’origine des coordonnées au point A : si l’on désigne par a la longueur AB, l’équation de toute courbe ABEEr du second ordre passant par les points A et B sera de la forme

Aÿ* B.r/-|- Dy-^- a? — ax—0 [3].

Les équations des deux autres courbes ABIIH' et ABP qui passeront aussi par les points A et B , seront respectivement

A 'y* -J- B 'xy-\-Xdy -j-o,'1 — <ac=0 [4],

et A"/!-f- B"x y-\-Dl’y-\-x' — ax=0 [5].

PROPRIÉTÉS DES COURBES DU SECOND ORDRE. ?ll5

Or, si l’on retranche membre à membre les équations [3] et [4], l’équation résultante

représentera le système de deux lignes droites qui passeront par les points d’intersection des lieux de ces deux équations ; donc

(A— A'>+(B— B>-fD— iy=0 [G] est l’équation de la corde CD , puisque ^==0 est celle de AB.

En retranchant de même l’équation [5] de [3] et l’équation [5] de l’équation [4], on trouvera

(A — AV+(B — B")x+D — D"=0 [7], et (A'— A")y-f-(B'— B")r-j-D'— D"=0 [8],

pour les équations des deux autres cordes GI et FK.. Or, l’équation de cette dernière est une conséquence de celles des deux autres; donc cette troisième corde va concourir avec les deux premières.

412. Scolie. Le lemme serait encore vrai, si une ou plusieurs des équations [3], [4] et [5] représentait le système de deux lignes droites. Il le serait encore, lors même que les courbes représentées par ces équations ne se couperaient pas, c’est-à-dire que les droites dont [6], [7] et [8] sont les équations concourront toujours.

413. Théorème de Pascal. Dans tout hexagone inscrit à une courbe du second ordre, les points de concours des côtés opposés sont tous trois situés sur une même ligne droite.

Soient ABCDEF un hexagone inscrit à une courbe du second ordre, L, M, N les points de concours des côtés opposés AlB et DE, BC et EF, CD et FA : je dis que ces trois points sont situés sur une même ligne droite. Joignons, eu effet, deux sommets opposés A et D , cette diagonale sera une corde commune k la courbe, au système des droites AB et CD et au système des droites AF et DE. Or, la seconde corde d’intersection de la courbe avec le premier système de droites est la droite BC; avec le système de AF et de DE c’est FE, et ces deux cordes BC et EF concourent en M.

D’un autre côté, la seconde corde d’intersection du système des droites AB et CD avec celui des deux droites AF et DE est la droite LN qui joint les points de concours de AB et de DE , de CD et de AF ; donc , en vertu du lemme ,

Fig. 141

/il 6 géométrie analytique.

cette droite LN doit aller passer par le point M où se croisent les deux autres cordes BC et EF , ce qui démontre le théorème de Pascal.

414. Supposons actuellement que l’on veuille foire passer une courbe du second ordre par les cinq poin ts A , B , C, 1), E : après avoir joint chaque sommet avec le suivant, ce qui formera le quadrilatère ouvert ABCDE, on prolongera les deux côtés extrêmes jusqu’à leur point de rencontre L, puis par ce point on mènera une sécante quelconque LMN terminée en M et en N aux prolongements respectifs de BC et de DC, et enfin on joindra les points M et N avec les points E et A par deux droites qui, par leur intersection, détermineront un point F de la courbe demandée; car, s’il n’en est pas ainsi, appelons F' le point où la droite NA va la couper, il faudra alors que les trois points F', E et M soient en ligne droite , ce qui ne se peut. Donc si l’on fait tourner la sécante LMN autour de L, les droites ME et NA tourneront en meme temps autour des points E et A , et leur point de concours F décrira la courbe du second ordre qui passe par les cinq points A, B, C, D, E*.

On peut déduire de la génération même de la courbe décrite par le point F, que cette courbe passe par les cinq points A, B, C, D, E. Je dis d’abord qu’elle passe par le point B; car, si l’on fait coïncider la sécante mobile LMN avec AB, le point N qui appartient à CD sera venu so placer en I à l intersection de cette droite avec AB; donc le point M, qui doit être situé à la fois sur LN et sur BC , se trouvera actuellement en B; ainsi les deux droites NAF et MEF auront pris les positions AL et BE , de sorte que le point F est venuen B. La même démonstration s’applique évidemment au point D.

Si l’on suppose que la sécante LMN vienne passer par C, les points M et N coïncideront avec C , et partant NA et ME seront dirigées suivant AC et CE; donc leur point de section F sera venu en C; donc C est un point du lieu.

Enfin, si l’on suppose que la sécante ME se soit couchée

* On peut se proposer, pour exercice, de trouver l’equation du lieu ainsi engendre, et on vérifiera qu’il passe par les cinq points A, B, C, D, E, ce qui fournira une démonstration analytique du Théorème de Pascal.

PROPRIÉTÉS DES COURBES DU SECOND ORDRE

ÛI7

sur AE, le point M sera allé en M' au point où AE coupe BC, de sorte que la sécante LMN aura pris la position LM'; le point N aura donc glissé jusqu’au point N' d’intersection de CD avec LM', et AN sera devenu N'A. Ainsi le point F est venu en A ; donc le point A appartient à la courbe.

Remarquons que la sécante NAF coupe actuellement la courbe en deux points réunis en un seul A ; donc N'A est une tangente à la courbe au poiut A. On mènerait de même une tangente en E.

Si l’on voulait mener une tangente en tout autre point, en B, par exemple, on prendrait le point I de concours des droites AB et CD pour centre de rotation de la sécante mobile, et on répéterait la construction précédente. Ainsi on prolongerait BC jusqu’à sa rencontre en M' avec AE; on joindrait IM', et en unissant le point T où cette droite va couper DE avec B , on aurait la tangente demandée.

415. Il est facile de reconnaître le genre de la courbe Fig. mi et de déterminer ses éléments : car, si l’on joint le point K, où les deux tangentes KJE et KB vont se couper, au milieu de la corde BE qui unit leurs points de contact, on aura un diamètre delà courbe (277, 527 et 567). la considération des deux tangentes AG et KG en déterminera un second,

GO, on joindra donc BO, on prolongera cette droite d’une quantité OB'=BO, et BB' sera la longueur d’un diamètre. Son conjugué sera dirigé suivant la parallèle menée par le point O à la tangente GK. Pour déterminer sa longueur, on supposera que la courbe soit rapportée à ces deux diamètres conjugués pris pour axes des x et desj', de sorte qu’en appelant 2 d et 2# leurs longueurs et (d ,/) les coordonnées du point A, on aura , pour l’équation de la tangente AG ,

d'y j rfc ifx/x effr = 0 ,

et en y faisant x=0, on trouvera >//' = =b ainsi, suivant que y et y seront de mêmes signes ou de signes contraires , la courbe sera une ellipse ou une hyperbole, et il sera facile de trouver b.

Observons toutefois que, dans le cas de la parabole, il n’y aura qu’à prendre le milieu de KH pour avoir l’extrémité du diamètre dont KH est la direction (566).

Remarquons que le théorème de Pascal a lieu quelle que

soit la forme de l’hexagone inscrit à la courbe , et lors même que ses côtés s’entre-croiseraient de toutes les manières possibles *.

*41G. M. Brianchon a découvert le théorème suivant , qui n’est pas moins beau que celui de Pascal :

Dans tout hexagone circonscrit à une courbe du second ordre, les diagonales qui joignent les sommets respective ment opposés se croisent toutes trois en un même point.

Fig. 143 Soit, en effet, abcdef l’hexagone dont il s’agit, je joins chaque point de contact au suivant, et je forme ainsi un hexagone inscrit ABCDEF, dans lequel les points de concours L, M et N des côtés opposés sont situés sur une meme ligne droite. Or, les sommets opposés a et d de l’hexagone circonscrit sont les pôles des deux côtés opposés AF et CD de l’hexagone inscrit (598); donc la diagonale ad est la polaire du point N où ces côtés vont se croiser (40(>) ; donc elle contient le pôle de la droite LMN (405). Ce pôle doit donc se trouver à la fois sur chacune des trois diagonales tul , be , cj de l'hexagone circonscrit ; donc ces diagonales se croisent au même point.

On aurait pu conclure immédiatement la vérité de ce théorème du principe fondamental de la théorie des polaires réciproques (408); mais, à raison de son importance, nous avons cru devoir entrer dans le détail de la démonstration.

*417 . La réciproque de cette proposition est vraie , c’està-dire que, si cinq côtés d’un hexagone sont tangents h une courlte du second ordre , et que d’ailleurs ses trois diagonales se croisent en un même point, le sixième côté sera aussi langent à la courbe. En effet, si ce sixième côté ef n’est pas tangent à la courbe , nous pourrons mener par le point e une droite ej T qui lui soit tangente, et alors la diagonale f'c de l’hexagone circonscrit abcdef devra aller passer par le point de section O des deux autres diagonales ad et be; donc elle

aura ainsi deux points communs avec fc sans coïncider avec elle , ce qui ne se peut.

* Il s’applique aussi au cas où la courbe du second ordre se réduirait au système de deux ligues droites , d’où il suit que dans tout hexagone Fig. 142 ABCDEFA inscrit au système de deux droites, les trois points de concours L , M , N des côtés opposés sont en ligne droite.

PROPRIÉTÉS DES COURBES DU SECOND ORDRE. /* 1 9

*418. Il suit encore du théorème de M. Brinnchon (4 1 6), quV/ ri existe qu’une seule courbe du second ordre fini puisse toucher il la fois cinq droites données. Supposons, en effet, que deux pareilles courbes puissent toucher les cinq droites ab , bc, cd, de , ne : d’un point quelconque é de de , je mène Fig. m une tangente éf h la première courbe, et une tangente éf à la seconde; les trois diagonales du premier hexagone abcdéf se croiseront en un certain point O, et les trois diagonales du second hexagone abcdéf devront aussi se croiser au même point, car O est le point d’intersection des diagonales ad et bé qui sont communes à ces deux polygones. Donc cf et cf coïncident, et par conséquent les deux tangentes éf et é f se confondent aussi. Il en est donc de même des deux courbes, puisque le point é a été pris au hasard sur la direction de la tangente commune de.

*419. Tout pentagone in- *420. Tout pentagone cirscrit à une courbe du second conscrit à une courbe du seordre peut être regardé comme cond ordre peut être regardé un hexagone inscrit, dont l’un comme un hexagone circondes côtés est devenu une tan- scrit, dont l’un des angles vaut ïig-HS gente. Si donc au sommet A deux droites, et qui a pour

du pentagone inscrit ABCDEA sommet le point même où l’un Fig. Ht on mène une tangente FAN, on des côtés de ce pentagone toupourra la regarder comme le che la courbe : ainsi le pentasixième côté de l’hexagone in- gone abede peut être regardé scrit ABCDEFA, dont les cô- comme un hexagone circontés opposés sont AB et DE, BC scrit abedefa, dont les somet EF, CD et FAN. Donc mets opposés sont a et d , b et

e , c et /. Donc

Théorème. Dans tout peu- Théorème. Dans tout pen-

tagone inscrit, les points de tagone circonscrit, les diaconcours de deux, couples de gonales qui joignent deux côtés alternatifs sont en li- couples (le sommets altergne droite avec le point où natifs concourent avec la le cinquième côté va couper droite qui joint le cinquième la tangente menée au sommet sommet avec le point de conqui lui est opposé. tact du côté opposé.

*421. Tout quadrilatère *422. Tout quadrilatère inscrit peut être considéré circonscrit peut être considéré comme un hexagone dont deux comme un hexagone dans le-

côtés sont devenus tangents :

ne soit donc ABCD un pareil quadrilatère, si on mène des tangentes ad et bc aux sommets opposés A et C, on formera un hexagone dont les côtés opposés sont AB et Cl), BC et AD, bc et ad ; ainsi les trois points L, M, N où ces couples de côtés vont se croiser sont en ligne droite. Donc

TnÉonÈME. Dans tout quadrilatère inscrit, les points de concours des côtés opposés et les points de concours des tangentes menées aux sommets opposés sont quatre points situes en ligne DROITE.

*423. Ces deux théorèmes peuvent être compris dans un même énoncé, en disant que

Si Von inscrit à une courbe du second ordre un quadrilatère quelconque ABCD, et qu’on lui en circonscrive un autre abcd , dont les côtés touchent la courbe aux sommets du premier : 1° Les quatre diagonales AC, BD, ac, bd de ces lieux quadrilatères se croiseront au meme point O; 2° les quatre points de concours L, M, IN, P des côtés opposés de ces dciur. quadrilatères seront tous quatre rangés sur une même droite polaire de O ; car N et P sont les pôles respectifs des diagonales AC et BD, et par conséquent NP est la polaire de leur point d’intersection O.

*424. Scolie. Ixs diagonales du quadrilatère circonscrit vont concourir respectivement aux //oints M et L ou se coupent deux à deux les côtés opposés du quadrilatère inscrit. En effet, le point L est le pôle de la diagonale ac; car AB et CD sont les polaires respectives des points a et c (4Ô6) ; mais OM est aussi la polaire de L (594); donc les deux droites ac et OM coïncident ; donc la diago-

quel deux angles opposés valent chacun deux droits , et Fîg dont les sommets sont les points mêmes où deux côtés de ce quadrilatère touchent la courbe. Soit donc abcd un pareil quadrilatère, on pourra le regarder comme un hexagone dont les sommets opposés sont a et c, b et d , C et A; ainsi les trois droites ac , bd et CA vont se couper en un même point. Donc

T héorème. Dans tout quadrilatère CIRCONSCRIT , les DIAGONALES et les DROITES qui joignent les points de conüict îles côtés opposés se croisent au même point.

PROPRIÉTÉS DES COURBES DU SECOND ORDRE. £l2t

nale ac va passer par le point de concours des deux côtés BG et DA.

*42o. Tout triangle inscrit *426. Tout triangle cirpeut être regardé comme un conscrit peut être regardé hexagone inscrit , dans lequel comme un hexagone circontrois côtés alternatifs sont de- scrit , dans lequel les angles venus des tangentes, de sorte sont devenus de deux en deux qu’en menant des tangentes égaux à deux droits, de sorte Rg. H7 bc, oc, nb aux trois sommets que le triangle «fosera considu triangle ABC, on aura un déré comme un hexagone cirhexagone inscrit dont les di- conscrit dont les angles opporections des côtés opposés se- ses sont A et a, B et b , G et c. ront bc et BG, ac et AC, ah Donc et AB. Donc

Théorème. Dans tout Théorème. Dans tout tria/itriangle inscrit a une courbe g/e circonscrit à une courbe du second ordre , les points du second ordre, les trois de concours des côtes avec les droites qui joignent chaque tangentes menées aux som- sommet avec le point de conrnets opposes son t trois po i nts tact du côté opposé vont se en ligne droite. croiser au meme POINT.

*427. Ces deux derniers théorèmes peuvent être compris dans l’énoncé suivant :

Si dent triangles sont P un inscrit et l’autre circonscrit à une courbe du second ordre, de manière que tes sommets du premier soient les points de contact des côtés opposés du second , tes points de concours des côtés opposés des deux triangles sont situés sur une même ligne droite, et les droites qui joignent leurs sommets opposés se croisen t en un point qui est le pôle de cette droite.

*426. Considérons un hexagone ABCDEFA inscrit dans Fig. 148 une parabole, supposons que le sommet F s’éloigne indéfiniment, et que E vienne coïncider avec D. Le côté DE deviendra une tangente, et les côtés AF et EF seront alors deux diamètres issus de A et de D. Comme le théorème de Pascal a toujours lieu, le point L, intersection du côté AB avec la tangente au point 1), sera en ligne droite avec les points M et N, où les côtés BC et DC vont couper les diamètres menés par les points D et A.

Cette remarque fournit le moyen de mener une tangente en

un point donne D d’une parabole , lorsqu'on connaît trois autres points A, I >, C de cette courbe et la direction de ses diamètres.

Si le point E, au lieu de coïncider avec le point D, s’en éloigne indéfiniment , le point L viendra se placer en L/ à l’intersection de AB avec le diamètre tiré par le point D; mais le point M du diamètre EF s’éloignera aussi indéfiniment du point N ; de sorte que la droite MN sera devenue parallèle à BC. Donc, dans tout quadrilatère inscrit à une parabole, les points d’ intersection des diamètres qui passent par les extrémités d’un même côté avec les côtés qui lui sont adjacents déterminent une parallèle au quatrième côté.

*429. Problème. Décrire une parabole qui passe par qimtre points donnés.

Fig. 14D Soient A, B, C, D les quatre points donnés, AN et DL les directions des diamètres qui passent par les deux points A et D : la droite LN qui joint les points où ils sont rencontrés par les côtés DC et AB est parallèle à BC (428); par conséquent, les triangles ILN et 1BC sont semblables, et on a la proportion