ID.IC.IA IB

équation qui détermine IN. Pour construire cette droite, je mène AG parallèle à BC et terminée à la rencontre de CD; IG sera ainsi une quatrième proportionnelle aux droites IB, IA et IC, de sorte que la valeur de 1PJ" deviendra

ÏN^ID.IG.

On cherchera donc une moyenne proportionnelle antre ID et IG, et on la portera sur ID, de I en N et de I en N'; joignant donc le point A à l’un des points N et N', on aura la direction du diamètre qui passe par ce point, de sorte que le problème admet deux solutions.

PROPRIÉTÉS DES COÜBBES DU SECOND ORDRE. 423

Maintenant, si 1 on joint le point Mf ou B(, coupe le diamètre DL avec N, le point L', intersection de cette droite avec AB, appartiendra à la tangente menée au point D(428); ainsi cette tangente sera connue, et on pourra alors déterminer les éléments de la parabole (584).

*450. Le théorème que nous avons établi au n" 408 combiné avec ceux des n0' 4 1 5 et 41 6 ont conduit M . Brianchou à une propriété très-remarquable des hexagones insenptibles et circonscriptibles à une courbe du second ordre, que M. Poncelet a étendue ensuite à des polygones d’un nombre quelconque de côtés. Supposons, en effet , que 1 on ait tracé sur le plan d’une pareille courbe deux polygones qui soient polaire s- réciproques l’un de l’autre (408). Nous pourrons toujours décrire deux courbes du second ordre, dont 1 une passera par cinq sommets A, B, C, D, E du premier, et dont l’autre touchera les cinq côtés correspondants a, h , c, d, e du second. De plus, ces deux courbes seront uniques (410 et 418\ Si la première passe par un sixième sommet F du premier polygone , les trois points de concours des côtés opposés de l’hexagone inscrit seront en ligne droite (41 o), et par conséquent les trois diagonales de 1 hexagone formé pai les six polaires a, b, c,d,e,f se croiseront au même point (416), de sorte que cet hexagone sera circonscrit à la courbe qui lui correspond (41 7); par la même raison , si la courbe qui passe par les six sommets A, B, C, D, E, F passe encore par un septième sommet G, la courbe qui touche les six côtes a , b , c, a, e, f touchera aussi le septième g, et ainsi de suite ; donc Si un polygone quelconque trace sur le plan d une courbe du second ordre est inscriptible à une autre courbe du second ordre, son polaire-réciproquc sera, par là meme, circonscri ptible à une telle courbe, et vice veisa.

Si l’on suppose que le nombre des côtés du premier de nos deux polygones devienne infini, et que chacun d’eux devienne infiniment petit, auquel cas il se confondra avec la courbe à laquelle il était inscrit, le nombre des côtés de son polaireréciproque augmentera au delà de toute limite, et ce poKgone, formé par toutes les tangentes de la courbe à laquelle il était circonscrit se confondra avec elle; donc on a aussi ces deux beaux théorèmes dus à M. Poncelet :

Si un point, pris sur le plan d'une courbe quelconque

du second ordre , se meut sur une autre courbe du second ordre , sa polaire en enveloppera une troisième dans son mouvement .

Réciproquement, si une droite, située dans te plan d'une courbe du second ordre , se meut en restant constamment tangente à une autre courbe quelconque du second ordre , son pôle en décrira une troisième dans son mouvemen t.

Les courbes décrites par le point mobile et par sa polaire sont polaires-réciproques l’une de l’autre; de sorte que, pour obtenir l’équation de la courbe enveloppée par les polaires d’un point qui décrit une courbe du second ordre, il n’y a qu’à chercher quel est le lieu des pôles de toutes les tangentes à cette courbe. C’est une question que l’on pourra se proposer pour exercice.

cêomêtrie analytique.