CHAPITRE XVII

IDENTITÉ DES COCItlIES DU SECOND ORDRE AVEC LES SECTIONS CONIQUES.

431 . Nous nous proposons ici de prouver que la courbe qui résulte de Ü intersection d’une surface conique circulaire droite par un plan quelconque , qui ne passe point par le centre de cette surface , est une courbe du second ordre , et que, réciproquement, toute courbe du second ordre j>eut être obtenue en coupant une pareille surface par un plan.

D’un point quelconque de l’axe d’une surface conique circulaire droite, abaissons une perpendiculaire sur un plan qui coupe cette surface; puis menons un plan par ces deux lignes, et soient SA , SB et OX ses traces sur la surface conique et Fig. iso sur le plan sécant MON. Le plan ASB est donc perpendiculaire à celui-ci. Maintenant, par un point quelconque M de la section conique, conduisons un plan perpendiculaire à l’axe, et soient EMF et EF ses traces sur le cône et sur le plan ASB.

La droite MP, qui joint le point M avec le point P où EF et OX se croisent, sera perpendiculaire au plan ASB, et partant à ces deux droites; or, EMF est une circonférence: donc,

MP est une moyenne proportionnelle entre EP et PF. Cela posé , rapportons la section MON à la droite OX prise pour axe des .r, et à la perpendiculaire OY élevée au point O sur OX dans le plan sécant. Désignons par (3 l’angle générateur de la surface conique, et convenons, en outre, de représenter par d la distance OS, et par a l’angle SOX. Ce sont là les deux quantités qui déterminent la position du plan sécant à l'égard de la surface conique. Appelons encore x et y les deux coordonnées OP et MP du point quelconque M de la courbe NOM, et il s’agira, pour avoir l’équation de cette courbe, de chercher l’expression de la relation constante qui lie entre elles x et^\ Or, d'après ce que nous avons remarqué plus haut, on a