CO S P

Tâchons maintenant d’obtenir l’expression de PF. Pour cela, je mène la parallèle PIL à la génératrice SB, et on aura ainsi PF=20K. — OI. Mais OK=rfsin (ï; on tire ensuite du triangle PIO

OI:x::sin(a-f-2p):cosp;

car l’angle OPL est supplémentaire de LOP-f-OLP:=a-}-2[ï , et sinOIP = sinOGS=cos(3 : donc

* QI-rsin(g+2P).

COS fl ’

partant PF=2c/sinp —

et enfin Jr,=2-^-^sipg^ *» [1].

Donc les sections coniques sont des courbes du second ordre.

Examinons, avant de démontrer la réciproque, si cette équation [1] peut représenter toutes les courbes du second ordre. Pour qu’elle représente une ellipse, une hyperbole ou une parabole, il faut que l’on ait

sin(»-J-2(3)>0, <0, ou =0;

car l’angle» ne devant varier que depuis zéro jusqu’à 180°, son sinus est une quantité positive. Cette condition revient à

»-f-2p<180°, >180°, ou =180°;

car a-|-2^ est nécessairement <300°.

Dans le premier cas , la trace OX du plan sécant sur ASB coupe la génératrice SB sur la nappe ASB de la surface conique, et par conséquent le plan sécant rencontrant toutes les génératrices sur une même nappe, la courbe MON est rentrante et fermée, ce qui s’accorde avec la forme connue de l’ellipse.

Si a-j-2[i^>l80°, la trace OX coupe la génératrice SB sur son pro ongement SB', de sorte que le plan sécant rencontre

fm **

une partie seulement des génératrices de chacune des deux nappes. Il en résulte donc deux branches de courbe qui s’étendent indéfiniment chacune sur une seule nappe, et s’opposent leur convexité. C’est bien là la forme de l’hyperbole.

Enfin , si a-|-2(3 = 1 80°, OX est parallèle à SB , et le plan sécant rencontre toutes les génératrices , sauf SB, sur la nappe ASB , de sorte que la courbe sera formée d’une seule branche qui s’étendra indéfiniment sur cette nappe.

Si l’on suppose d=0, et que, pour abréger, on représente par — K le coefficient de r’, l’équation [1 ] se réduira à

jr*-f-&r*=0,

et représentera ainsi un point, deux droites qui se coupent, ou deux droites confondues en une seule, selon qu’on aura

a-f2^<180°, >180° ou =180°.

On voit donc que l’équation [1] peut représenter :

1° Une ellipse et un point;

2° Une hyperbole et deux droites qui se coupent;

3° Une parabole et une ligne droite ;

mais qu’elle ne peut jamais représenter deux parallèles ou une ligne imaginaire, de sorte qu’elle est moins générale que l’équation:

Ay* -J- Ibrj-j- Gr* -{- Dp -j-Ex -f- F = 0 .

452. Venons actuellement à la seconde partie de la question que nous nous sommes proposée. Supposons donc que l’on demande de couper un cône de manière que la courbe <t intersection soit une courbe donnée du second ordre. Rapportons cette courbe à l’un de ses axes et à la tangente à l’un des sommets de cet axe , son équation sera de la forme

y=2 px-\-TU? [2],

1p désignant le paramètre, et la valeur absolue de n étant le carré du rapport des axes, dont l’un est perpendiculaire à l’axe des a;, et dont l’autre est dirigé suivant cette droite (354). Il s’agit de savoir si , en donnant à d et à a des valeurs réelles et finies , on pourra rendre l’équation [1 J identique avec [2].

Il faudra donc satisfaire aux deux équations de condition rfsinasinfi __ sinasin(a-|-2{i)

r COS P COS*($

Or, la première, étant du premier degré par rapport à d, donnera toujours une valeur réelle et finie de cette inconnue, si l’on peut tirer de la seconde une valeur réelle de a qui ne soit ni 0° ni 180°. Résolvons donc cette seconde équation. Pour y parvenir, il faut se rappeler que la différence des cosinus de deux arcs est égale à moins le double produit du sinus de la demi-somme de ces arcs par le sinus de leur demi-différence {Trigonométrie, 55); or, si l’on regarde a-|-2(i comme la demi-somme de deux arcs et a comme leur demi-différence , ces deux arcs seront (2a-(-2j3) et 2| ï, et on aura ainsi

cos(2a-j-2p) — cos2p = — 2sinasin(a-j-2p),

et par conséquent

2«cos*^=cos(2a-]-2p) — cos2fi [3];

d’où l’on tire

cos(2a-{-2(3)=2(fl-J-'1)cos’(J — 1 ,

en se rappelant que cos2(2=2cos’Sï — 1 . Pour que l’on puisse tirer de cette équation une valeur de a , il faut que son second membre soit compris entre — 1 et -(-1 ; car ce sont là les limites entre lesquelles tout cosinus est renfermé; ainsi, pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que l’on ait

2(«-}-1)cos,3 — — 1 et

Ces deux inégalités reviennent à

/*-H>0 et cos^C^^ [4].

Dans le cas de l’ellipse , n est négatif, mais plus petit que U1

l’unité; car — et 2a représente toujours le grand axe;

donc ces deux conditions sont remplies quel que soit (}; d’un autre côté la valeur de « donnée par l’équation [3] n’est ni 0° ni 1 80°; car, s’il en était ainsi , cette équation se réduirait à 2wcos,(i=0, ce qui est impossible. Donc il n’est pas d’ellipse qui ne puisse provenir de l’ intersection d’un cône droit pur un plan.

Si la courbe donnée est une hyperbole , n est positif, et la

seconde condition se réduit à cos’fS»^^; mais, en appelant 9

ledemi-angle asymptotique, onacos9=*; donc cosî(3<^cos,Ô,

et par conséquent 2fC>29, ce qui nous apprend que la section conique ne sera égale à f hyperbole donnée que si l'angle au centre de ce cône est au moins égal à l’angle asymptotique de cette hyperbole.

Enfin, s’il s’agit d’une parabole, « = (), et les conditions [4] sont satisfaites. Mais ce n’est pas encore assez pour être certain que la section conique sera cette parabole, il faut encore que sinx ne soit pas nul, sans quoi d serait infinie. Or, n étant nul, l’équation [3] se réduit à

cos(2a-|-2fi)=:cos2p, d’où 2a-|-2p=t2p=2^ir;

mais, a ne peut pas surpasser t, P<C 5» de sorte que

2a-|-4|ï <4tc; donc X==1,

donc 2a-j-4f4=27r, d’où a-j-2^=nr,

et 2«=0 ou =2ir.... d’où u—0 ou =17.

Ces deux dernières valeurs de a doivent être rejetées, mais la première est bonne. Donc toute parabole peut être regardée comme une section conique*.

*433. Si l’on suppose que le centre S de la surface co-

* La théorie que nous venons de développer conduit très-simplement aux conditions de similitude de deux courbes du second ordre. Car, si les plans , qui coupent la surface conique suivant deux ellipses ou deux hyperboles , sont parallèles, ces courbes seront semblables, leurs centres de similitude seront deux points quelconques situés en ligne droite avec le centre de la surface , et le rapport de similitude sera le rapport des distances de ces deux points à ce centre [Génm., page 378); donc les axes des deux coirrbes sont proportionnels. Cette condition est d’ailleurs suffisante , comme le prouve l’équation

, IA sinotsin(a-|-2j3)

~ié~~ »

puisque, si elle est remplie, la valeur de a sera constante et les plans des deux courbes seront parallèles.

Donc la condition nécessaire et suffisante pour que deux ellipses ou

nique s’éloigne indéfiniment du plan sécant, auquel cas cette surface devient cylindrique, on aura (3=0, et d=co ; mais le triangle SOK donne OK=r/sin|3; donc, si l’on appelle r le rayon invariable de la circonférence qui sert de base au cône, le produit r/sinfi tendra vers r, lorsque (ï et d convergeront respectivement vers 0° et vers l’infini ; donc , à la limite, l’équation [1] deviendra

/’-j-si^a-jr’ — 2rsina.a = 0,

Fig. 151

équation d’une ellipse. Donc les sections faites dans une surface cylindrique circulaire droite par des plans inclines sur la base , sont des ellipses qui ont toutes pour petit axe le diamètre île ce cylindre. On ne peut donc pas placer une ellipse quelconque sur une pareille surface, mais on peut trèsbien couper cette surface suivant une ellipse semblable à une

ellipse donnée. Il suffit, pour cela de poser sina:

*434. Terminons par faire voir que Von peut obtenir les trois courbes du second ordre , en coupant convenablement un cône circulaire oblique.

Soit UV la trace du plan sécant sur celui de la base du cône, j’abaisse du centre C de cette base la perpendiculaire CD sur UV, et je mène un plan par cette perpendiculaire et par le sommet S du cône; soient SA, SB et OD ses traces sur la surface conique et sur le plan sécant, q et £ les inclinaisons des génératrices SA et SB sur la droite CD; j’appelle encore a l’angle SOD, d la distance OS, et enfin .r et y les coordonnées d’un point quelconque M de la section conique MON par rapport à la droite OD prise pour axe des x et à une parallèle OY menée à UV par le point O. Je conduis enfin par le point M un plan parallèle à celui de la base du

deux hyperboles soient semblables , c'est que leurs axes soient proportionnels.

Il suit de là , que si deux hyperboles sont semblables, les angles formés par leurs asymptotes sont égaux.

Quant à la parabole, il suffit de mener par un point pris convenablement sur une génératrice un plan parallèle à la génératrice opposée et perpendiculaire à celui de ces deux génératrices, pour obtenir une parabole donnée ; donc, quelles que soient deux paraboles, on pourra toujours les regarder comme les intersections d’une surface conique par deux plans parallèles ; donc elles sont semblables.

Digitizad by Goofflç

cône; l’intersection sera un cercle EMF , et la droite MP , qui joint le point M au point P oii les droites OX et EF se croisent sera parallèle à UV, et par conséquent perpendiculaire à EF et parallèle à OY, de sorte que OP et MP seront les deux coordonnées x et y du point M. En raisonnant maintenant comme au n° 431, on obtiendra successivement

j' = EP.PF,

fi*-. • \ r\ XS1DI

EP ;,r “smalsuif, a ou EP=— , PF=OG — OI;

OG:rf::sin(74-S) :sinà', d’où og=^£±1); OI : x : : sin(a-j-180l> — 7 — à)=sin(7-|-à — a) : sin£,

d’où

■rsin(Y-|-3 — a)

sino

„ , rfsinasin(v4-o)

et enfin, y '== : ;'.1— x-

7 s suiYsine

sin g sin (y -f- S — a) ^ sinYsinS * ’

équation du second degré, qui représentera les trois courbes, suivant qu’on aura

— a>0, <0, ou =0;

car il est d’ailleurs évident que la valeur absolue de (?+*—) est < 1 80°. Cette condition revient à

Voyons si la section peut être une circonférence de cercle. La condition trouvée au n° 70, B=2Acos8, se réduit ici à cos 8 = 0, d’où 8 = 90°; ainsi il faut que l’angle YOX soit droit ; on satisfera à cette condition en dirigeant le plan sécant parallèlement à la base du cône, ce qui donnera évidemment un cercle; ou bien en faisant eu sorte que la droite UV soit perpendiculaire au plan ASB, lequel sera par conséquent perpendiculaire à celui de la base du cône. Ainsi la première condition à remplir, si le plan sécant n’est point parallèle à la base du cône, c’est qu’il soit perpendiculaire à celui de la section principale , c’est-à-dire à un plan mené par l’axe du cône perpendiculairement à celui de sa base. Il faudra encore que

sinasin(y-|-à — a)=siny sin£,

r.ÊOMÉTBIE ANALYTIQUE.

ou, en remplaçant comme au n° 432, le produit de deux sinus par la différence de deux cosinus,

cos(y~|-^) — cos (2a — Y — &)=cos(Y-|-à) — cos(y — £),

équation qui se réduit à

cos(2a — y — £)=cos(y — £).

Or, pour que deux arcs aient le même cosinus, il faut et il suffit que leur somme ou leur différence soit un multiple pair de la demi-circonférence; donc on aura toutes les solutions de cette équation en posant

2a — y — H — l — &=2 l'it, d’où a — S’=Ær;

2a — y — ^ — Y h^=2/'~> d’où a — Y==^r'

Mais les angles a, y> $ sont moindres que 1 80°; donc Æ=0, et par conséquent

a=& ou a=Y*

Donc le plan sécant coupera le cône suivant un cercle, en le menant parallèlement à la base , ce que l’on savait, ou bien en le dirigeant de mahière qu’il fasse avec la génératrice SA un angle SOK. égal à l’inclinaison de SB sur cette base. Cette seconde section se nomme sous - contraire ou antiparallèle.