CHAPITRE XV III

l>E LA FORME DES COURBES.

§ I. Concavité et convexité des courbes.

455. On dit <\\i une courbe est concave en un de ses fwints par rapport a une droite donnée , lorsque l'arc , dont ce point est le milieu, est compris dans l'angle aigu formé par cette droite et par la tangente à la courbe au point dont il s’agit, cet arc pouvant être aussi petit qu’on coudra. Si cet arc est au contraire situé hors de cet angle , on dit que la courbe est convexe au point que Von considère.

456. Nous allons chercher à quel caractère analytique on peut reconnaître si une courbe tourne sa concavité ou sa convexité vers l’axe des x. Or l’inspection seule de la figure 1 52 Éig. suffit pour montrer que, si l’on considère un arc de courbe situé dans l’angle YOX ou dans son opposé au sommet ^-Ox,

1 angle a qui mesure l’inclinaison de la tangente sur l’axe des x diminue ou augmente à mesure que le point de contact s’éloigne de l’axe des ordonnées, suivant que la courbe présente sa concavité ou sa convexité à l’axe des abscisses, et que le contraire a lieu si l’arc proposé se trouve dans l’un des deux angles ^OX ou YO#. Or, en regardant une quantité négative comme d’autant plus petite que sa valeur absolue , est plus grande, on voit que tanga augmente ou diminue avec a, et réciproquement; on peut donc établir cette règle générale :

Un arc de courbe situé dans V angle des coordonnées positives ou dans son opposé au sommet présente sa concavité ou sa convexité à taxe des x , lorsqu’ en lui menant une tangente à l’un de ses points, le coefficient angulaire <le cette tangente diminue ou augmente algébriquement, à mesure que le point de contact s’éloigne de l'axe des ordonnées *. Le contraire a lieu si tare que l’on considère est situé dans l'un des angles yOX ou YOx.

Nous avons supposé les coordonnées rectangulaires ; mais la règle

Faisons une application de cette règle à la cissoïde. Le coefficient angulaire de la tangente à cette courbe au point

(x,y) cst(l4G)

rI+3.r*

Or, si l’on fait croître x, y croît aussi , et par conséquent on ne voit pas comment varie le dénominateur. Eliminons donc^ au moyen de l’équation de la courbe,

et il viendra, toutes réductions faites,

tanga=dt

\JxÇir — x) y/(2r— x)5 '

le signe supérieur étant relatif à l’arc situé au-dessus de l’axe des x, et le signe inférieur à l’arc situé au-dessous. Or, si x augmente , l’un des facteurs du numérateur croît, tandis que l’autre décroît, ainsi que le dénominateur, de sorte que l’on ne peut encore rien conclure pour tanga; mais j’observe que cette valeur revient à

tang

or le premier facteur augmente évidemment avec x; quant au

second , on peut le mettre sous la forme 1 -j- ^ , et on

voit alors qu’il augmente avec .r; donc la première valeur de tanga augmente et la seconde diminue; donc les deux branches de la courbe présentent leur convexité à l’axe des abscisses.

457. Scolie. La considération de la figure 152 montre que quand P abscisse d’un point d'une courbe augmente , l’ordonnée correspondante augmente ou diminue, selon que le coefficient angulaire de la tangente est positif ou négatif.

*458. Si la courbe était rapportée à des coordonnées polaires, il faudrait calculer la tangente de l’angle a que la

serait encore vraie si elles étaient obliques: car — -,

1 sin(Û — a)

angulaire de la tangente, augmente et diminue avec a

coefficient

POINTS MAXIMUMS ET MINIMUMS.

touchante au point (w , p) fait avec l’axe polaire. Or cet angle a est égal à de sorte qu’il sera facile d’exprimer sa tan-

gente en fonction de w et de p. Mais l’expression de cette tangente est ordinairement si compliquée qu elle n’est alors d’aucune utilité.

§ II. Points maximums et minimums .