Un point d’une branche de courbe est dit maximum

ou minimum, par rapport à taxe des abscisses, lorsque Fig. 143 son ordonnée surpasse celles des points qui le précèdent et le suivent immédiatement , ou en est surpassée , pourvu toutefois que la tangente en ce point ne soit pas parallèle à l’axe des ordonnées ; s’il en était ainsi, le point que l’on considère prendrait le nom de point de rebroussement.

440. 11 suit de cette définition, qu’tu un point maximum la courbe est concave vers l’axe des x , et convexe au contraire à l’égard de cet axe, s’il s’agit d’un point minimum : donc si l’on mène une tangente à la branche sur laquelle se trouve un point maximum, en un point N suffisamment près de celui-ci, et qu’on fasse glisser le point de contact de manière qu’il s’éloigne de l’axe des y , le coefficient angulaire de la tangente diminuera (434) d’une manière continue* en passant du positif au négatif, puisque la tangente fait un angle aigu ou obtus avec l’axe des x , suivant que le point de

* Donnons, en effet, à x et à y les accroissements respectifs h et k, et développons les deux termes du coefficient angulaire en les ordonnant par rapport aux puissances et produits de ces accroissements : le numérateur, par exemple, donnera un résultat de la forme

<?'C*t +/*,r+ *) = y) + né +«!**+•—

-j- btk -j- bjtk- }-. . . .

-f-rj/1 +••••

Or, puisque x et y sont les coordonnées d’un point qui décrit une même branche de courbe, y varie d’une manière continue , lorsque x croit de la meme manière; par conséquent, si h tend vers zéro, il%en est de même de k ; donc on peut rendre la différence ç'(x,-| -h,y-\-k) — ?'( x,,y) moindre que toute grandeur donnée. Ainsi lorsque x croîtra d’une manière continue , les deux termes de la fraction — varieront

d’une manière continue, et cette fraction elle-même variera aussi d’une manière continue.

h 36 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

contact est à gauche ou à droite de M. Or ce coefficient n’a pas pu devenir infini, puisque la tangente au point maximum n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées; donc il a dû nécessairement passer par zéro; et comme on en dirait autant pour un point minimum , on en conclut que la tangente en un point maximum ou minimum est parallèle à l’axe des abscisses, et que par conséquent son coefficient angulaire est nul.

Observons toutefois que la réciproque de ce théorème n’est point toujours vraie, c’est-à-dire que l’on ne doit pas conclure qu'un point est maximum ou minimum, par cela seul que la tangente en ce point est parallèle à l’axe des x; car ce point pourrait être un point a inflexion, comme on le voit dans la figure 1 54, c’est-à-dire un point où la concavité de la courbe se change en convexité, ou bien un point de rebroussement, comme le point M de la figure 1 55.

Concluons que, pour déterminer les points maximum et minimum d’une courbe , il faudra calculer le coefficient angulaire de la tangente en un point indéterminé ( x , y) de

cette courbe, et égaler ce coefficient — à zéro. Mais

comme dix, y,) ne peut pas devenir infini, puisque c’est une fonction entière de x et de y, on se contentera de poser ç/(.r, , y)= 0, c’est-à-dire d’égaler à zéro la dérivée de l’équation proposée, prise par rapport à x, de sorte que le système des équations

/)=o et

déterminera les coordonnées de tous les points de la courbe proposée qui peuvent être des points maximums ou minimums.

441 . Pour reconnaître si le point qui a pour coordonnées un couple de valeurs de x et de y qui vérifient les deux équations précédentes, est effectivement un point maximum ou un point mininUm, on observera qu’à droite et à gauche d’un pareil point l’ordonnée de la courbe doit être réelle, et que le coefticient angulaire de la tangente doit avoir des signes contraires pour deux valeurs de x , l’une un peu plus grande et l’autre un peu plus petite que l’abscisse du point maximum ou minimu/n. S’il est positif pour la plus petite

POINTS MAXIMUMS ET MINIMUMS.

de ces valeurs, le point est maximum, et il est minimum dans le cas contraire.

Si la fonction — a mûme signe pour les points qui

précèdent et qui suivent immédiatement celui que l’on considère, la courbe a une inflexion en ce point; et elle y forme Fig. I5i un rebroussement, si l’ordonnée est réelle d’un côté de ce point et imaginaire de l’autre. Tel est le point M de la Fig. iss figure 1 55.

Lorsqu’on ne cherchera les points maximums et minimums d’une courbe que pour en assigner plus exactement la forme, et c’est ce qui arrivera le plus souvent, la discussion à laquelle on se sera préalablement livré, en discutant l’ordonnée («5 1 ), suffira toujours pour reconnaître si le point déterminé par une solution des équations

cp(.r, /)=0 et ?'(/,/) =0,

est un point maximum, minimum, d’inflexion ou de rebroussement.

442. En cherchant les points maximums et minimums par rapport à l’axe des/, ce qui se fera en déterminant les solutions des équations

?'(•*> .r«)=°> ?Oi.r)=o,

on aura les points qui limitent l’étendue de la courbe dans le sens de l’axe des x. On les appelle en conséquence des points-limites.

Exemple. Trouver les points maximums, minimums et limites du lieu de l'équation

que nous avons construite au n° i>0. Les points maxi- Fig. i: nuuns et minimums seront donnés par le système des équations

:.r=0) (x=22,5 ). :/=oM^= 9,74)’

et les coordonnées des points-limites seront les solutions des deux équations

9(.f,/j =900/’ — 30.r-|-.r4=0 ) oU. r)=— 90.r!-J-4r,=0 J ’

o(x, /) =900/J— 30.r*-J-.r‘=0 i j. h ( x=0 ) ( x=30 ) i&'(.r,/;)=1 800/=0 j’cl ou(/=oH/=0 j

La nature du point (0, 0) est, comme on voit, tout à fait indéterminée. Pour la connaître, je me reporte au coefficient angulaire, et je trouve, en en éliminant^' au moyen de l’équation proposée, qu’il revient à

quantité qui pour ,z=0 se réduit à zéro; et comme d’ailleurs la courbe ne s’étend pas à gauche de l’axe des^, on en conclut que les deux branches de la courbe touchent l’axe des abscisses à l’origine et y forment un rebroussement.

Les points A et M (.r=22,5 et^=±9,74)sont des points maximums, et le point B (30,0) est un point-limite.

443. Lorsque la courbe que l’on considère est rapportée à des coordonnées polaires, il est également facile de déterminer ses points maximums et minimums par rapport à l’axe fixe, ainsi que ses points-limites. En effet, aux points maximums et minimums, la tangente devant être parallèle à l’axe fixe , l’angle M doit être le supplément de io : ainsi tangM — — tangw; et comme le point dont il s’agit est sur la courbe, on a„entre ses coordonnées les deux équations

tang«= — plim j et ç(w,p)=;0,

ce qui suffira pour les déterminer. On reconnaîtra ensuite si le point dont on aura calculé ainsi les coordonnées est maximum ou minimum , en examinant le cours de la courbe de part et d’autre de ce point.

Pour avoir les points-limites de la courbe dans le sens de l’axe fixe, on observera qu’en ces points la tangente est perpendiculaire à l’axe polaire, et qu’ainsi l’angle M est le complément de w, de sorte que tangM =cotw; les coordonnées des points-limites seront donc données par les deux équations

ptangto.lim^ = 1 et <p(p,ü)) = 0.

Prenons, pour exemple, le lieu de l’équation p cos w cos 2(o = a .

On cherchera d’abord la limite du rapport et, pour le faire

POINTS MAXIMUMS ET MINIMUMS. 639

le plus simplement possible, on observera que

cos tu cos 2<d = -(cos 3w -J- cos w), de sorte que l’équation proposée revient à

cos 3(o -I- cos (O = — .

En opérant alors comme il a été indique au n° 160, on trouvera facilement

, « . , sin — , sin— za-r

. - . . Olli . - . 01)1 ^

3 sin (3« + y)-3Â“ + sin (“ + ï) ' ~ =