O I • m y. K . , . ,, COS3lo4-COS(l
sm3(i)-f-sin(i)=:-Tlim7, partant tangM = „ . „ — h — = — . 1 p* /i’ r ° 3 sin 3to sin o»
Nous aurons donc pour déterminer les points maximums et minimums les deux équations
cos 3(0 -4- cos (» i sin o) „ „
t;-.—» — h — i = 0 et pcos(i)COs2(i) = u.
3sino«)-)-sinc.) 1 cos t» r
On tire successivement de la première
cos 3w cosw -l-cos’o) -}- 3 sin 3u sinw -}-sin,o = 0, cos2(o-}- 1 — (cos 4w — cos2u)=0, cos 4(o — 2 cos 2w — 1=0, ...» cos’2(o — cos2(o — 1=0.
cos 2(o= r cos(o=--' • T ~ ; partant p=
Les points-limites ont pour coordonnées les valeurs de p et de (o qui satisfont aux deux équations
cos 3o) + cos « cos (o -,
- „■■■-, : =-r et P COS (O COS 2(0 = CI.
3 sm 3oo -f- sin co sm co r
On tire successivement de la première
3 sin 3(o cos (o — sinw cos3o)=0,
sin 4(o -j- 2 sin 2(o=0, sin2(o(cos 2(o-j- 1 )=0,
sin2(o=0, to=/ j, p =±a, p=±oo ;
cos2(o-j-1=0, (o=(24-|-1)|, p=rtoo .
MO
§ III. Théorie des maximums et des minimums des fonctions algébriques d'une seule variable.
444. On dit qu’une fonction F(x) prend une valeur maximum pour x = a, lorsqu’ en donnant successivement à la variable x des valeurs qui surpassent a ou en sont surpassées d’une quantité aussi petite que ton voudra, les valeurs correspondantes de F(x) sont toujours moindres que Ffa). Si ces valeurs de F(x) sont, au contraire, toujours plus "ramies que F(a), F(a) est un minimum de F(x).
44a. Si l’on pose y= F(x) et que l’on regarde x et y eomine des coordonnées courantes, cette équation représentera une courbe , et il est clair que les abscisses de ses points maximums ou minimums seront des valeurs de x qui rendront F(.r) maximum ou minimum ; mais ce ne sont pas les seules valeurs de x qui jouiront de cette propriété; car si la courbe dont il s’agit a des points de rebroussement où la tangente soit parallèle à l’axe des y , comme au point M' de la lia figure 155, les ordonnées de ces points satisferont à la définition du n° 444. La détermination des valeurs maximums et minimums de la fonction proposée F(a) est donc ainsi ramenée à trouver les coordonnées des points maximums et minimums de la courbe qui a pour équation
ainsi que les coordonnées des points de rebroussement de cette courbe, où la tangente est parallèle à Taxe des ordonnées. Nous distinguerons deux cas, suivant que la fonction proposée sera rationnelle et entière ou qu’elle ne le sera pas.
446. 1rr Cas. F(æ) étant rationnelle et entière, le coefficient angulaire de la tangente au point ( x,y ) sera F'(x), ainsi que nous l avons vu au n° 144 : nous poserons donc
et les racines réelles de cette équation seront les valeurs de x qui pourront rendre F(.r) un maximum ou un minimum.
Soit a une de ces racines : pour reconnaître analytiquement si elle satisfait à la question, nous poserons h,
h étant une quantité positive ou négative susceptible de décroître indéfiniment, et en substituant cette valeur de x dans
MAXIMUMS ET MINIMUMS ALGÉBRIQUES. Uki
la fonction proposée , et développant F(« h) d’après le théorème des fonctions dérivées, nous trouverons, en observant que F(a) est identiquement nulle,
F(a+A)FM=F(*)£+r»î£5+
ou, en mettant If en facteur commun du second membre,
F(«+A)-F(«)=/,'(t|>+F»ri5+....).
Or, puisque h est une quantité susceptible de décroître indéfiniment, on voit qu’on pourra lui assigner des valeurs soit positives , soit négatives , telles que le premier ternie de la quantité renfermée dans les parenthèses soit plus grand que la somme de tous les autres, de sorte que le signe du second membre, et par conséquent celui du premier, sera le signe même de F"(«) ; donc F(a) sera un maximum ou un minimum selon que Fr,(«) sera négative ou positive.
Mais, si F "(a) est nulle et que F "'(a) ne le soit pas, le second membre , et par conséquent le premier, changera de signe avec h , de sorte que F [a) ne sera ni un maximum ni un minimum. Mais si F'"(a)=0, on a
et il est clair que si F"(a)^0, le premier membre sera constamment négatif ou positif, et qu’ainsi F (a) est un maximum ou un minimum , et ainsi de suite.
Ainsi, pour qu'une racine de T équation F'(x)=0 rende la fonction F(x) maximum ou minimum , il faut et il suffit \ /ue la première dérivée quelle n'anéantit pus soit d'ordre pair ; si cette dérivée est rendue négative par la substitution de cette racine, F(x) est maximum, et minimum dans le cas contraire.
447. Remarquons que si la valeur a de x annule plusieurs dérivées consécutives, à partir de la première, la parallèle à l’axe des x , qui a pour équation jrz=.Y(a), coupera cette courbe en autant de points réunis en un seul qu il est marqué par le nombre de ces dérivées, plus un; car l’équation qui a pour racines les abscisses des points d’intersection
Ulti GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
île la droite y=F(a), avec la courbe y — F(x), étant F(.e) — F(a) = 0, ses dérivées successives sont les mêmes que celles de FFr) = 0 ; donc elle a autant de racines égales à a qu’il y a (l imités, plus une, dans le nombre de ces dérivées de F(.r) qu’anéantit cette valeur a de x. La droite ^*=F(«) est donc une tangente à la courbe ^'=F(x), mais une tangente qui a avec cette courbe un contact a un ordre supérieur au premier : du second, du troisième, du quatrième,— ordre, suivant que cette droite coupe la courbe en deux, trois, quatre, ....points réunis en un seul. Or, ce qui est très-remarquable , c’est que si le contact est d’ordre impair, le point de tangence est un point d‘ inflexion . Nous avons vu, en effet, que si Ff(a) et F'^a) sont nulles sans que ¥"‘{a) le soit, la différence F(a-f-A) — F(«) entre l’ordonnée de la droite^'=F(«) et celle d’un point de la courbe pris aussi près que l’on voudra du point dont l’abscisse est a , changeait de signe avec h , de sorte, que si d’un côté de ce point la courbe est au-dessus de sa tangente, de l’autre elle sera au-dessous.
448. T Cas. Supposons que la fonction proposée F(.r) ne soit plus rationnelle et entière, on posera encore y= F (x) , mais on fera évanouir de cette équation les radicaux et les dénominateurs, ce qui donnera une certaine équation
et il s’agira de trouver les abscisses des points du lieu de cette équation qui sont maximums ou minimums, ainsi que celles de ses points de rebroussement où la tangente est parallèle à l’axe des y. Or, le coefficient angulaire de la tangente doit être nul pour les points maximums et minimums , et infini pour les points de rebroussement dont il s’agit ici. En conséquence, on formera les dérivées de <f(x,y) par rapport à x et à y, et on posera
=oj’ ?(.r,j)==oj’
puis on éliminera^ entre les équations du premier système, et aussi entre celles du second, et on aura deux équations finales
MAXIMUMS ET MINIMUMS ALGÉBRIQUES. UU S
dont 1rs racines seront les valeurs de x qui peuvent rendre la fonction proposée maximum ou minimum. Pour reconnaître ensuite si une racine a de l’une de ces équations jouit de cette propriété, il faudra comparer F(rtt) avec les valeurs que prend F(ûcJ pour des valeurs de x, qui diffèrent très-peu de a, soit en plus, soit en moins. Mais si la forme de la fonction proposée ne permet pas de faire cette comparaison, et c’est ce qui arrivera le plus souvent, on examinera le cours de la courbe 9 (•£>/)= 0 aux environs du point [a, F (a)], et la remarque du n° 437 pourra être alors très-utile pour cela.
Exemples. I. Trouver les limites de la fonction
Sa dérivée est
ainsi , les valeurs de x qui peuvent répondre à des maximums ou à des minimums de la fonction proposée sont les racines de cette équation. On trouve qu’elle a deux racines égales à -(-1 et une égale à — 1 . La première anéantira nécessairement P'(x)=1 2(3.r* — 2.r — 1 ), mais elle ne pourra pas rendre ¥"'(x) égale à zéro; donc F (1) n’est ni un maximum , ni un minimum; quant à la racine — 1 , elle réduira F" (x) à+12 .4; donc F( — 1) = — 16 est un minimum.
II. Construire un cylindre dont faire totale soit duale à celle (fun cercle donné, et dont le volume soit le plus grand possible.
Soient //et r la hauteur et le rayon du cylindre demandé, a le rayon du cercle donné, on exprimera que l’aire du cylindre est égale à celle du cercle donné, en écrivant
2~rh-f2r.r,—r.a', d’où h—“
l’expression du volume que l’on veut rendre maximum sera ainsi , et l’équation du problème sera en consé-
quence
a et comme la dérivée du premier membre de cette équation
Ukk GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
est — 12 r, on voit que la valeur de r qu’elle détermine,
répond à un maximum de la fonction 9 En substituant cette valeur de r dans celle de h, on trouvera
A=Vî=|=2r-
Ainsi le cylindre demandé est équilatéral.
