Le théorème du n° 57 nous donne les deux équations

c=a cosB, ô=asinB:

si l’on divise ces deux équations membre à membre et qu’on se reporte à la formule [8], on trouvera

ô=ctangB;

Fig. 12. c’est-à-dire que, dans tout triangle rectangle , un côté quelconque de l'angle droit est égal à la tangente de l’angle opposé multipliée par l'autre côté de l’angle droit.

60. Si l’on veut démontrer synthétiquement les deux théorèmes que nous venons d’établir sur le triangle rectangle, on décrira, du point B comme centre et avec l’unité linéaire pour rayon , un arc de cercle DE entre les côtés de l’an-

RELATIONS ENTRE LES ÉLÉMENTS D’üN TRIANGLE. 51

f[le ABC, puis en tirant par les points D et E les perpendicuaires DF et EG au côté AB, on formera deux triangles BDF, BGE semblables au triangle ABC , et en comparant leurs côtés homologues , on trouvera

BD:BC::DF:AC::BF;AB, et BE:BA::EG:AC, ou bien .

1 \a\ :sinB;Æ: :cosB;c, et 1 \c\ :tangB:ô; relations d’où l’on tire

&=</sinB, c=«cosB, ô=ctangB.

Ces formules sont la traduction algébrique des théorèmes énoncés aux n°‘ 57 et 59.

61. Venons maintenant au cas des triangles obliquangles. Il s’agit de trouver d’abord une relation entre les deux angles A et B, par exemple , et les côtés opposés a et I) (56).

Les deux premières des équations [50j renferment ces quatre quantités et en outre le côté c; donc en éliminant ce côté, nous aurons la relation cherchée. Pour cela, il faudra, conformément aux .règles de l’élimination entre deux équations du second degré à deux inconnues ( Algèbre , 224), éliminer d’abord c5 entre ces équations

2bc cos A = ô*-|-c1 — a1, et 2flCcosB=a,-j~c’ — Ô1,

ce qui se fera en les retranchant membre à membre. On trouvera ainsi, toutes réductions faites,

c(acosB — b cosA)=a’ — If.

On devrait actuellement tirer c de cette équation pour en substituer la valeur dans l’une des proposées; mais il sera plus simple de tâcher de déduire de ces mêmes équations une nouvelle équation où c n’entrera encore qu'à la première puissance, et il suffit, pour cela, de les ajouter, ce qui donnera, après avoir divisé par 2c,

a cos B -(-A cos A —c.

Or, si l’on multiplie cette équation et la précédente membre à membre, on pourra supprimer le facteur c qui sera commun aux deux membres de l’équation-produit, et on trouvera

«’ cos* B — 1/ c os* A = a* — - lé .

Cette équation ne renfermant plus que les deux angles A et

B et les côtés a et b qui leur sont opposés , est par conséquent la relation cherchée. Mais on peut lui donner une forme plus simple; car, en transposant les termes «’cos’B et — b', et en ayant égard à la formule [7], il viendra

ôsin A=a sinll, d’où sinA;sinB“fi;ô.

C’est donc à dire que, dans tout triangle rectiligne , les sinus des angles sont proportionnels aux côtes qui sont opposés à ces angles.

On peut donner de cet élégant théorème une démonstration synthétique qui, ne s’appuyant que sur des définitions, permettrait d’en faire le théorème fondamental de la trigo- Fig. n. nométrie *. Soit ABC le triangle proposé, je lui circonscris une circonférence de cercle, et du centre O avec l’unité linéaire pour rayon , j’en décris une seconde qui coupe en Af, B' et C' les droites OA, OB et OC. Je détermine ainsi un

* Il faudrait alors pouvoir en déduire le théorème du n° iîiî. Or, la chose est facile. En effet , le théorème de la proportionnalité des sinus des angles d’un triangle aux côtés opposés, donne les deux équations n sin I! = b sin A , «sinC = esinA.

On a de plus

A-f B-fC = I80°.

En éliminant C entre les deux dernières, on trouvera (18) c sin A = o sin (A -|- B) .

Mais on sait (29) que

sin(A -j- B) = sin A cos B -J- sin B cos A ;

donc

c sin A = a sin A cos B -(- a sin B cos A.

Je remplace n sin B par son égal b sin A , et en divisant les deux membres de l’équation résultante par sin A, ce qui est permis, puisque l’angle A ne peut être égal ni à zéro ni à 180°, il viendra c— fl cos B b cos A.

», . , , ... . . A sin A

Mais de la première équation, on tire sin B = , et comme

cosB=y/I — sinsB, on aura

cos B

b' sin- A

-A* sin* A

, donc

c=y'aï — A!sin*A-f- AcosA.

Enfin , si on fait évanouir le radical , on tirera de là 2Accos A = A!-f- c- — a!.