V./opi
Or, r ne représente pas la distance du point M à l’un des points où la sécante MM' rencontre la courbe plutôt qu’à tout autre de ces points; ainsi l’équation [3] doit avoir pour racines les distances du point M à tous les points où cette sécante rencontre la courbe, et voilà pourquoi elle a une racine nulle ; car M est lui-même un de ces points.
Cela posé, si M est un point d’inflexion, il est clair qu'en prenant le point M' suffisamment près de M , la sécante MM' coupera nécessairement la courbe en un troisième point M" situé de l’autre côté de M par rapport à M', et que ces deux points se réuniront avecM, quand la sécante viendra coïncider avec la tangente au point M. L’équation [3] aura alors trois racines nulles, et deviendra par conséquent divisible
fi
par r* quand on y remplacera le rapport ~ par la valeur du
coefficient angulaire de la tangente au point M, c’est-à-dire
par — Donc, pour trouver les points (t inflexion, on
devra égaler à zéro les coefficients de r et de r*, ce qui donnera les équations de condition
?%*• 4- rÀx>j'tW= o,
au moyen desquelles on déterminera les coordonnées (y, y) du point d’inflexion, et le coefficient angulaire de la tangente en ce point : si les valeurs de x et de y tirées de ces équations n’étaient pas réelles et finies, il n’y aurait pas d’inflexion *.
* Si une valeur particulière de - annule les coefficients de toutes les
puissances de r inférieures à la il n’y aura d’inflexion au point (x,.> ) que dans le cas où n sera un nombre impair. Considérons, en effet, une Fig. 157 courbe sinueuse UV et une sécante qui la coupe aux points d’inflexion M, M’, M",.... 11 est clair que les longueurs des cordes qu’elle laisse dans la courbe, dépendent à la fois de la position de cette sécante et des constantes de l’équation proposée <j»(.r, y) =0. Si donc, en donnant des valeurs convenables à ces constantes , les deux points d’inflexion M et M viennent à se réunir, ces deux inflexions se détruiront mutuellement, de sorte que si la courbe n’en avait pas eu primitivement d’autres, elle n’en présentera plus. Mais si elle en a une troisième M", elle la conservera encore, lors même que ce point M" viendrait à sp confondre avec les deux premiers , et ainsi de suite.
POINTS SINGULIERS
Exemple. /-j-«V — #=0. On trouvera
?'(•*! ?'(*,7«)= 5/, ?Vi»7.)=°»
