a’. t, î^ÿL

Donc

3rt!Ja!-j-10/p’=0.

On tire de la seconde

P Sa»*1

substituant dans la troisième, il viendra x/(5/ -j- 6fl’x’) = 0 .

x=0 donne ^=^*,^=0 donnex=y'?. De la combinaison des deux équations 5/-(-6«,.r!=0 et/-|-a*x3 — If— 0, il résulte .r= — etjr=b^S. Ainsi il y a trois inflexions

aux points (0, b\ (y/J, o), ( —

*453. Points multiples. Ou appelle point multiple un point commun à plusieurs branches d’une meme courbe, et on dit que ce point est double, triple, quadruple, suivant qu’il appartient à deux, trois, quatre branches.

Il peut se faire que les branches qui se réunissent au point multiple se coupent (fig. 1 58), ou s embrassent (fig. 1 59), ou forment une osculation, c’est-à-dire se touchent en s’opposant leur convexité (fig. 160). Dans le premier cas, chaque branche a sa tangente distincte, tandis que dans le second et dans le troisième ces tangentes se confondent.

Si le point M est multiple, quelle que soit la direction de la sécante menée par ce point, l’équation [3] aura autant de racines nulles qu’il passe de branches par ce point ; donc les coefficients de toutes les puissances de r, dont l’exposant est un nombre plus petit que celui de ces branches, doivent être nuis, et cela indépendamment de toute valeur particulière

donnée, au rapport coefficient angulaire de la sécante. Par

Fig. LSR 1S9, 160

Fig. Iâ8

conséquent, si le point M est, par exemple, un point triple, il faudra que l’on ait

D’où l’on voit que la condition necessaire pour cju’ une courbe ®(x, y) — 0 ait un point multiple, c’est que les dérivées du premier ordre de son équation prises successivement par rapport à x et par rapport à y soient vérifiées par les coordonnées de ce point. On résoudra donc les équations

?'(xi > y)=o et ?'(x> y.)=o,

et si l’on trouve des solutions réelles communes à ces deux équations et à <p(x,y) = 0, on en conclura que tes points dont elles sont les coordonnées peuvent être des points multiples.

*434. Pour achever de caractériser ces points, i! faudra voir par combien de branches ils sont formés, et si ce sont des points d’intersection, d’embrassement ou d’osculation. On examinera donc combien on peut mener de tangentes au point (fi, fi). Ür, si l’on fait tourner la sécante MM', qui est représentée par les équations [1], [2] et [3], jusqu’à ce qu’elle soit venue coïncider avec la tangente MT, il est clair que l’équation [3] aura alors une nouvelle racine nulle, et par conséquent une de plus qu’il n’est indiqué par le degré de multiplicité du point M. Ainsi, dans le cas d’un point triple, le

coefficient de ê devra s’annuler lorsqu’on y remplacera - par

le coefficient angulaire de la tangente MT : mais comme il en est de mehie pour chacune des tangentes menées par le point M aux trois branches qui passent par ce point, il en résulte qu’en égalant à zéro le coefficient de r3, on formera une équation qui aura pour racines les coefficients angulaires de ces trois tangentes. On substituera donc dans l’équation

/(*., y)+Vfc. y,)Ü+f"(*. J.)£=0 [4J,

les coordonnées du point M, et si , y), fi fi,, y,) et fi(x , y,) ne sont pas anéanties toutes trois par cette substitution , on en conclura que ce point est double et que les

POINTS SINGULIERS

coefficients angulaires des deux, tangentes correspondantes B

seront tes valeurs de Ç données par cette équation.

Si çw(x,, y), «j/'Cx, , y,) et <p"(x, y,) s'évanouissent , on substituera les coordonnées de M dans l’équation

c/ « te résultat de cette substitution n'est pas identiquement nul, c’est que M est un point triple, et les trois valeurs du coefficient angulaire de la tangente en ce point seront les racines de cette équation; et ainsi de suite.

Si l’équation qui détermine le coefficient angulaire de la tangente au point multiple a ses racines inégales, c’est un point d’intersection ; si toutes ses racines sont égales entre elles, c’est un point d’embrassement ou d’osculation; et s’il y en a tl’égales et d’inégales, c’est à la fois un point d’intersection et d’attouchement. Pour savoir si un point d’attouchement est d’embrassement ou d’osculation, il suffira d’examiner comment les branches qui le forment présentent leur concavité à l’axe des abscisses (415(>). Enfin si l’équation formée , en égalant à zéro le premier des coefficients de l équation [3] qui ne devient pas identiquement nul par la substitution des coordonnées du point que l’on considère, n’a qu’une seule racine réelle, ce point n’est pas multiple.

Exemples. I. Soit <p (x,jr)=.jé — Zaxf-\-x?—Q. On a

<p'(x, 7, )= dj* — 3ax = 0 j ’

de là

7=aY

Le premier couple vérifie l’équation proposée, mais le se- Fig. 175 cond n’y satisfait pas. Ainsi l’origine est un point multiple et le seul qu’ait la courbe proposée. Ce point est double , sans quoi cette courbe pourrait être coupée par une droite en plus de trois points, et elle est du troisième ordre. Pour savoir si c’est un point d’intersection ou d’attouchement, je forme l’cquation [4], et je trouve

partant 3x — 3a ^ -J-3/ ^ = 0 . *

Fig. 161 Fig. 162

Fig. 1G3

Les racines de cette équation correspondantes à x q j

sont- =oo et ^=0; donc les tangentes au point multiple

sont les axes mêmes des coordonnées, et les deux branches de la courbe s’y coupent.

II. Soit a*y* — a*.x*-j-x‘=0. On trouvera que l’origine est à la fois un point double et un point d’inflexion.

III. Soit dix, y)=yl — 2.rty-\-x*=0. On verra facilement que la courbe a à l’origine un point d’attouchement sur une inflexion.