IV. Soit <p(.r , y) = ay* — ( x — bjx = 0. On trouvera

’ J') „ (f (Ux b) ® | . La seule solution com-

mune à ces équations et à la proposée est j . On verra ensuite que

f) = — 3(x — b) (2x—b), ?"(x,,y,) = 0, lf(x,y,)=3ay,

quantités qui s’évanouissent pour x = b et y= 0; puis (4®— 34), <p'V„r.)=0, ^n(xvy^=Q,

de sorte qu’en égalant le coeflicient de /■* à zéro , on trouve

OS

— b-\-a ^3=0. Cette équation n’a qu’une seule racine réelle,

et ainsi le point (b, 0) n'est pas multiple; mais en ce point la courbe a un contact du deuxième ordre avec sa tangente, de sorte qu’il y a là une inflexion (447).

*4153. Points de rebroussement. Ijcs points de rebroussement sont des points multiples formes par deux branches de courbe qui se touchent et ne s’étendent pas au delà de leur point de contact. Si la tangente commune se trouve entre les deux branches, le rebroussement est de première espèce, et il est de seconde lorsqu’elle les laisse d’un même côté.

POINTS SINGULIERS

*456. Il suit de cette définition que pour trouver les points de rebroussement d’une courbe (p(x,^) = 0, il faudra chercher les points doubles de cette courbe, et celui de ces

points pour lequel le rapport jjj aura deux valeurs égales sera

un point de rebroussement, d’embrassement ou d’osculation.

On reconnaîtra que c’est un point de rebroussement, lorsque, pour des valeurs de x, aussi peu différentes que l’on voudra de son abscisse, les ordonnées des branches qui le forment seront imaginaires d’un côté de ce point et réelles de l’autre; et il sera de première ou de seconde espèce, suivant que ces , branches y tourneront leur concavité dans des sens contraires ou dans le même sens.

Exemples. I. Soit <p(.r, /)=«(+ — x)* — ( [x — by=0. On trouvera

Puis

partant

Ainsi les deux branches de courbe qui passent au point ( b , b ) s’y touchent. D'ailleurs y est imaginaire pour x <^b, et réelle pour toute autre valeur; donc il y a rebroussement au point (b, b). Pour en reconnaître le genre, je considère que

Mi-*) t 2 V « ‘

qu’ainsi, à mesure que x augmentera, à partir de b , la première valeur de — ? (•r>,+) croîtra, tandis que l’autre décroîtra;

donc la première branche présente sa convexité à l’axe des x, et la seconde lui présente sa concavité (456); donc le re- Fig. ici broussement est de première espèce.

II. Soit <p(.r, y)=(ay — •r1)* — c{x — bf— 0. On trouvera facilement qu au point (by deux branches de courbe

se touchent, qu’elles ne s’étendent pas au delà de ce point du côté des abscisses négatives, et qu’aux environs de ce Fig. 165 même point elles présentent leur convexité à l’axe des abscisses. Elles y forment donc un rebroussement de la seconde espèce.

*457. Points conjügüés. On appelle point conjugué un point dont les coordonnées satisfont à l'équation d’une courbe et qui en est tout à fait séparé. De plus, il est impossible de supprimer dans cette équation la solution qui donne les coordonnées du point conjugué. Le caractère analytique d’un pareil point consiste évidemment en ce que, pour toute valeur de x, qui différera aussi peu que l’on voudra de l’abscisse de ce point, la valeur correspondante de y devra être imaginaire, de sorte qu’en faisant varier x d’une manière continue, depuis 0 jusqu’à -J-oo et jusqu’à — oc , on ne pourra pas manquer de déterminer les points conjugués d’une courbe, s’il yema.

Exemple. Soitç(.r,>r)==7-’ — ( x — 2'f(x — *3)=0. On voit que pour toute valeur de .r inférieure à 2, y sera imaginaire; que pour x = 2, y= 0, et que pour toute valeur de x coin* prise entre 2 et 3,^' est imaginaire. Donc le point (2, 0)est un point conjugué.

Cette équation donne lieu à une observation qui , au premier abord, paraît fort singulière, c’est que la tangente au point (2, 0) est réelle; on trouve, en effet,

•pV.ri) 2/

Cette formule se réduit à § pour ,r=2; mais si on y remplace^- par sa valeur tirée de l’équation proposée, et qu’on réduise le résultat à sa plus simple expression

<?’(•*» ri) 2y/x — 3 ’

on trouve que — — 0 pour x—2. En faudrait-il con- ) ? (x, r) r

dure que l’axe des x est tangent à la courbe au point (2, 0)? Évidemment non; car, en faisant tourner une droite autour de ce point, elle ne pourra jamais rencontrer la courbe en un second point qui vienne coïncider avec lui. Mais, en vertu de l’équation proposée , l’axe des x coupe le lieu de cette

POINTS SINGULIERS

équation en cinq points dont quatre sont réunis en un seul (2, 0), et voilà pourquoi on a trouvé une valeur réelle pour le coefficient angulaire de la tangente en ce point.

*458. Il ne faudrait donc pas regarder, comme le caractère analytique des points conjugués, cette propriété qu’a fort souvent le coefficient angulaire de la tangente en ces points d’y prendre des valeurs imaginaires.

Il y a encore deux autres espèces de points singuliers, mais que l’on ne peut rencontrer que dans les courbes transcendantes (459 et 4 G I ) : ce sont les points d'arrêt et les points saillants ou anguleux.

*459. Points d’arrêt. On appelle points d’arrêt tout point où s’arrête brusquement une branche unique de courbe. L’équation

en offre un exemple. En y faisant croître x d’une manière continue depuis .r=0 jusqu’à ar=— j— oo et jusqu’à x= — oc , on forme le tableau suivant :

x = 0 donne 7— oo ,

x aug10 . . .

. . ^dimin'

xaug . . .

• • Jfaug'%

• • 7=Jl-

Ainsi la courbe est composée de deux branches situées de Fig. ice part et d’autre de l’axe des la première a pour asymptotes 1 axe des y et la parallèle menée à l’axe des abscisses à la distance -j-I de cet axe; l’autre a ceftc même droite pour asymptote, et s’arrête brusquement à l’origine en venant de l’infini négatif.

Si l’on veut savoir sous quelle direction cette branche de courbe atteint l’origine, on représentera par (x, y) les coordonnées d’un point pris sur la branche négative, dans le voisinage de l’origine, et le coefficient angulaire de la sé-

caiite qui unit ces deux points sera -= — r, de sorte que

pour avoir le coefficient angulaire de la tangente à l’origine, il faudra chercher la limite vers laquelle tend cette fraction quand x tend vers zéro. Or, on sait que

^=<+ï+o+ïi3+--

( Algèbre de MM. de Fourcy et Mayer), donc x.éc=x-\-\-\- d 2 2 3

Par conséquent, la limite de la quantité — r est zéro, et

xe*

ainsi la courbe touche l’axe des x à l’origine des coordonnées.

460. Lorsqu’une branche d’une courbe algébrique s’arrête , c’est que l’ordonnée correspondante à l’abscisse que l’on considère devient imaginaire; toutefois le coui’s de cette courbe n’est pas interrompu pour cela ; il arrive seulement qu’une seconde branche s’arrête aussi, mais au même point cjue la première , et qu’elles se continuent ainsi mutuellement. En effet , le premier membre de l’équation proposée d(x, y) = Q est, en regardant^ comme la seule inconnue, décomposable en facteurs réels du second degré, de la forme