DISCUSSION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS A DEUX INDÉTERMINÉES

§ I. Coordonnées rectilignes.

A (55. L’objet que l’on se propose dans la discussion d’une équation à deux variables est de déterminer la forme générale de la courbe qu’elle représente et, sa situation par rapport aux axes des coordonnées, c’est-à-dire d’examiner dans quelles régions du plan s’étendent les differentes branches dont elle se compose, si ces branches sont infinies ou limitées, si elles se réunissent pour envelopper certaines portions du plan, enfin de reconnaître toutes les circonstances remarquables du cours de cette ligne.

464. Pour atteindre ce but, on commencera par résoudre l’équation proposée <p(.r, ^) = 0 par rapport à l’une des variables, si la chose est possible, relativement à celle qui donnera lieu au calcul le plus simple; et sij* est cette variable, on en tirera differentes valeurs algébriques de^*,

/=+(*)» jr = lix), jr=y(x),....

qui, comme nous l’avons déjà observé (49), représenteront autant de branches de la courbe cherchée. Cela fait, on supposera que x croisse d’une manière continue depuis zéro jusqu'à -f-°° et jusqu’à — » , et on examinera avec soin quelle sera la marche des valeurs correspondantes de y, et pour quelles valeurs de x l’ordonnée deviendra infinie ou imaginaire; car ces valeurs de x détermineront en général des asymptotes parallèles à l’axe des ordonnées ou des limites de la branche que l’on considère, dans le sens de l’axe des abscisses. Il sera bon, pour obtenir plus facilement ces valeurs, de décomposer en facteurs les différentes parties des fonctions <j/(.r), ir(.r), y(.r),.... Celte décomposition aura encore souvent l’avantage de faire voir plus facilement si la variable^* croît ou décroît avec x. On ne devra pas d’ailleurs oublier

que le signe du coefficient angulaire de la tangente en un point d'une courbe indique si l’ordonnée de ce point augmente ou diminue à mesure que son abscisse prend des valeurs de plus en plus grandes (437).

Cette discussion de l'ordonnee apprendra dans quelles parties du plan s’étendent les différentes branches de la courbe, si elles sont limitées ou infinies; mais elle ne suffira pas en général pour donner une idée précise de la forme de cette courbe : il faudra encore chercher ses asymptotes, déterminer ses points maximum ou minimum; examiner si ses branches présentent leur conravité ou leur convexité à l’axe des abscisses. On calc ulera aussi les coordonnées des points remarquables que la discussion de l’ordonnée aura manifestés, et on pourra leur mener des tangentes. Enfin on fera passer par ces points principaux un trait continu qui satisfasse à toutes les conditions précédemment trouvées, et la courbe ainsi dessinée aura une forme approchée de celle que représente l’équation <p(.r,y)=0.

Si on voulait obtenir ce lieu avec une grande exactitude, il faudrait , après s’être livré à la discussion précédente , calculer encore les coordonnées d’un certain nombre de points de chaque branche , situés entre ceux que l’on aurait déjà obtenus , et faire passer le trait continu par ces nouveaux points et par les précédents.

*463. Si l’équation ip(.r,^') = 0 n’est pas résoluble par rapport à l’une des deux variables x et^-, on pourra encore parvenir à la discuter en cherchant immédiatement ses points maximum et minimum , ses points-limites et singuliers et ses asymptotes. Ainsi on déterminera d’abord les limites de la courbe dans le sens des ordonnées et dans le sens des abscisses (440 et 442), et, pour cela, on résoudra les deux systèmes d’équations,

on reconnaîtra ensuite par la règle du n" 441 si une solution du premier de ces systèmes détermine un point maximum ou minimum. En soumettant les solutions du second système à un examen analogue, on distinguera parmi les points dont elles donnent les coordonnées ceux qui sont des limites dans

le sens des abscisses de ceux qui n’en sont pas. On pourra construire ensuite quelques points intermédiaires entre ceux-là, ainsi que les intersections de la courbe avec les axes des coordonnées, et tracer les tangentes en ces différents points.

Cela fait , on posera les deux équations

?'(-ro7)=° et ?'(*>./«) =°;

d’où l’on tirera un certain nombre de couples de valeurs de x et de /: on les substituera dans l’équation <p(x,y)=0, et en ne conservant que celles de ses valeurs qui vérifient cette équation , on aura les coordonnées de tous les points qui peuvent être des points multiples ou de rebroussement (4*53 et 436), et la règle du n° 434 fera ensuite connaître la nature de ces points.

Actuellement, pour obtenir les branches infinies de la courbe <p(-r,/):=0, on cherchera ses asymptotes (167 et

Enfin, on pourra déterminer les points d’inflexion de la courbe (430 ou 432), et il sera alors facile de la dessiner.

Appliquons à quelques exemples les méthodes que nous venons d’exposer.

466. Exemple I. Discuter la courbe représentée par P équation en coordonnées rectangulaires,

dans laquelle a et b représentent deux droites données.

J'en lire jr=±^SEÜEÏ [2],

Ainsi , à chaque valeur de x correspondent deux valeurs de/ égales et de signes contraires; l’axe des abscisses divise donc la courbe en deux parties symétriques, de sorte qu’il suffira d’en suivre le cours au-dessus de l’axe des x. Cela pose, il peut se présenter trois cas principaux, suivant que l’on aura b^>a, b=a ou b<^a. Nous allons les examiner successivement.

1" Cas. b^>a. Je suppose d’abord que x croisse d’une

manière continue depuis zéro jusqu’à -}- oo , et je vois que .r=0 donne ^-=0;

que si x augmente depuis zéro jusqu’à a , le facteur x croîtra, mais que les deux autres (x — a) et (a: — b) décroîtront négativement, de sorte que l’on ne peut point savoir comment varie le numérateur dans la formule [2] ; l’ordonnée y est donc réelle et finie, mais la loi de ses variations nous reste inconnue.

x=a donne y— 0.

Ainsi la courbe part de l’origine, s’élève au-dessus de l’axe Fis-1M des x, puis redescend vers cet axe pour venir le couper à la distance OA = a de cette origine.

Tant que x sera comprise entre a et b, les valeurs correspondantes de y seront imaginaires , mais pour

x—b, on aura y—0.

La courbe coupe donc de nouveau l’axe des x à la distance OB=£ de l’origine.

Si x reçoit des valeurs plus grandes que&, le numérateur et le dénominateur de la quantité soumise au radical croissent en même temps, de sorte que la marche des valeurs de y semble incertaine. Toutefois , si l’on divise le numérateur et le dénominateur par xt on aura

et l’on voit alors que x croissant, le numérateur du second membre augmente, que le dénominateur diminue, et que, par cette double raison , la valeur de y augmente. Ainsi la courbe s’éloigne à la fois des deux axes des coordonnées dans l’angle YOX, et elle s’en éloigne indéfiniment; car x devenant infinie, ^"devient aussi infinie.

Nous allons maintenant supposer que x croisse depuis zéro jusqu’à — oo , et pour le faire plus commodément, nous changerons x en — x dans la formule [2] , ce qui donnera

En faisant varier ici x depuis zéro jusqu’à -f-oo , nous trouverons que

x=0 donne .... ^=0,

x<C.a y imaginaire ,

x—a y= oo :

ainsi, si l’on prend OAf=«, et que par le point A! on mène une parallèle à l’axe des y, cette parallèle sera une asymptote; car, si l’on donne à x des valeurs quelconques plus grandes que a , la formule [3] donnera pour des valeurs réelles. Mais, comme les deux termes de la quantité soumise au radical croîtront en même temps que x, on ne pourra rien conclure sur la marche des valeurs correspondantes de y, sinon que cette variable deviendra infinie en même temps que .r. Donc, la branche de courbe qui a A'C pour asymptote s’en éloigne indéfiniment, en descendant d’abord vers l’axe des x pour se relever ensuite et s’écarter de cet axe jusqu’à une distance infinie.

Voilà la discussion complète de l’ordonnée; il faut voir maintenant comment la courbe tourne sa concavité par rapport à l’axe des x. Formons donc le coefficient angulaire de la tangente. Nous trouverons

> y)=y'—3x'+‘ï{aJrl>) et 2y{x-\-a),

partant

tanga

— 3-r*— *{a+b)x+ab— )'

2/(x-fn)

On voit par là que pour

on a tanga=oo ,

et qu ainsi aux environs du point O la courbe est concave vers l’axe des x\ il en est de même aux points A et B, car on trouve encore tanga=oo , soit que l’on fasse

cx=a\

ou

lr=o)

Pour déterminer le point maximum de l’ovale dont OA est le diamètre, on devra égaler à zéro le numérateur de la valeur de tanga; mais comme il faudrait ensuite éliminer y de l’équation résultante au moyen de l’équation [1], nous ferons

d’abord cette élimination qui nous donnera

ttm g£+ y* m.

2(-r -j- a) y/ x(x — Z) ( jt1 — a1

puis nous poserons

2jt,-J-(2« — 0)3? — 2a(a -J- 4).r -j- a'b = 0 |5].

Cette équation a pour racines les abscisses du point M le plus élevé de l’ovale OA et du point m le plus bas de la branche UV; deux de ses racines sont donc réelles, et par conséquent la troisième l’est aussi; mais comme l’équation [5] a deux variations et une permanence, deux de ses racines sont positives et la troisième est négative. I>a branche BS auraitelle donc un point tel que sa tangente fût parallèle à l’axe des x? Pour le savoir, je cherche à séparer les racines de l'équation [5] :

x = 0 donne

de sorte que l’une des racines positives est comprise entre zéro et a , et l’autre entre a et 4; celle-ci ne répond, en conséquence, à aucun point de la courbe. Si on représente ces deux racines par p et par q, et la troisième par — r, le premier membre de l’équation [5] pourra être mis sous la forme

et on voit ainsi que tanga sera positif tant que x sera <ip7 et négatif quand x sera comprise entre p et q\ donc la courbe s’éloigne de l'axe des x depuis l’origine jusqu’au point M dont ( abscisse est p . et s’en rapproche continuellement depuis M jusqu’en A (457). Elle est d'ailleurs constamment concave vers Kaxe des x , sans quoi une ligne droite pourrait couper l’ovale en quatre points, et l'équation [ I] n’est que du troisième degré.

Occupons-nous maintenant de la branche BS. La quantité %x — p){x — </)(x-j-/-) étant constamment positive pour toute valeur de x plus grande que q, il en est de même de tanga; mais la formule [4] est trop compliquée pour qu’on puisse suivre les variations de oette quantité, de sorte que

nous ignorons si la brandie BS est constamment concave vers l’axe des x ou si elle a une inflexion.

La considération des asymptotes, s’il y en a, pourra nous éclairer sur ce point. En appliquant la règle du n° 167, on trouvera

F£)=5-1=°, d’où J=c = ±1; FV)=dt2, F,(c)=2a+£, d=-^b.

Ainsi , l’équation des asymptotes obliques à l’axe des/ est

Ces lignes sont faciles à construire.

Passent-elles au-dessus ou au-dessous de la branche S'S ?

Si ---y- est plus grand que b ou égal à b, l’asymptote

j=x — coupe l’axe des x au delà du point B ou en

ce point même, et ainsi la branche BS est au-dessus de son asymptote, et par conséquent cette courbe a une inflexion, puisqu’elle présente d’abord sa concavité à son asymptote, et qu elle doit finir par lui opposer sa convexité; d’ailleurs elle n’en a qu’une, sans quoi une droite pourrait la couper en plus de trois points.

Mais si ~r'^' < b, le seul moyen de savoir si l’asymptote

RR' passe au-dessus de la branche BS est de comparer les ordonnées de ces deux lignes, qui correspondent à une même abscisse , ou , ce qui sera plus commode ici , de comparer les carrés de ces ordonnées. En désignant par/; l’ordonnée de l’asymptote, nous trouverons

* (*«■ + b)x + (Sa + A)*

Ji — 4 >

et par suite

{bi-iab — W)x-\-a{ia-\-bf r<yl

On voit par cette formule que si

// — 4 ab — 4a*<0,

il y aura une valeur positive de x, à partir de laquelle le se-

cond membre de l’équation [7] sera constamment négatif; donc alors j\ sera <iy, et la branche BS sera au-dessus de son Fig. 169 asymptote, qu’elle coupera au point dont l’abscisse est

X P—iab—W

Donc cette branche a une inflexion.

Mais si l’on donne à x des valeurs négatives, le dénominateur étant alors négatif, on aura encore (nous supposons toujours que If — 4 nb — 4«,<0), et ainsi la branche U'V sera tout entière au-dessous de son asymptote, d’ou je conclus qu’elle n’a pas d’inflexion ; car m'X' présentant sa convexité à son asymptote, dans le voisinage de ni, point minimum delJ'V', et finissant par la lui présenter encore, elle ne pourrait avoir moins de deux inflexions, auquel cas une droite pourrait couper la courbe en plus de trois points. Par la même raison ni U' n’a pas non plus d’inflexion.

Si li — -4 ab — 4 <ù est égal à zéro, le second membre de l’équation [7] reste positif pour toute valeur positive de x, et négatif pour toute valeur négative de cette variable (il n’y a pas de courbe entre Y/ et CC); ainsi les branches BS et U'V' sont entièrement au-dessous de leurs asymptotes, et par conséquent elles n’ont pas d’inflexion; car l’une en B et l’autre en ni présentent leur convexité à cette asymptote et finissent par la lui présenter à leurs extrémités respectives.

Si If — t\ab — 4rt’>0, le second membre de l’équation [7] reste positif pour toute valeur positive de.z; il est au contraire négatif pour les valeurs négatives de cette variable, qui

sont moindres que // " ’ et Pos‘l‘f pour toutes celles

qui sont plus grandes que cette quantité. Donc la courbe BS Fig. no est tout entière au-dessous de RR', et en conséquence n’a pas d’inflexion; mais cette müme asymptote coupe alors la branche U'V' et passe au-dessous d’une partie de Ll'V', de sorte que cette branche a une inflexion.

Nous n’aurons donc besoiu d’avoir recours au calcul des nos 4«50 ou 4d2, que si l’on veut déterminer exactement les points d’inflexion ; et encore faudrait-il , pour cela , que a et b fussent donnés numériquement. Toutefois, pour guider le lecteur dans cet exercice de calcul , nous en donnerons les ré-

Fig. 171

sultats principaux. On trouvera d’abord que l’équation quia

pour racines les abscisses des points d’inflexion est

(b1— A ab — 4 ni)*' + 4a(fc» + 5a b + ta’ii1 — Ca t>[b + 2a)r! + 4 aVx + a*b’ = 0 [g].

Si// — bab — 4rt’<0, cette équation a une racine négative moindre que», une racine positive >4, et si les deux autres racines sont réelles, elles sont nécessairement comprises entre 0 et a ou entre a et 4; or, l’ovale ne peut pas avoir d’inflexion, et il n’y a pas de courbe depuis x—a jusqu'à x—b. Donc la branche BS a seule une inflexion.

Si Ir — 4 <ib — 4rt*=0, on verra qu’il n’y en a pas, et que si/»' — Un/j — 4z/)>0, l’équation [8] ayant deux racines négatives, l’une <[rt, l’autre les branches UV et U'V' ont chacune une inflexion correspondant à cette seconde racine, mais que SBS' n’en a pas ; car x=b et ,r=-j-oo donnent deux résultats de mêmes signes.

2e Cas. 4=n. La branche SBS' vient alors se réunir à la courbe OA au point A, de sorte que ce point est multiple. Pour en connaître la nature, je fais b=a dans la formule [4], qui devient ainsi

3rrx — a*

tang cl— ! — — .

après avoir supprimé le facteur (x — a) commun a ses deux termes; en supposant maintenant x—a, on trouvera

ta»s«=±i.

Donc ce point A résulte de l’intersection de deux branches de courbe qui font avec l’axe des x des angles dont les tangentes sont

+4 et— L.

1 y/2 yjï

L’hypothèse b— a donne b * — 4 ab — 4fl’<C0, ainsi les branches UV et U'V' n’ont point d’inflexion, non plus que SAS', quoique nous ayons trouve que cette branche en avait une quand 4’ — 4 ab — 4«’ <0. C’est qu’ ici la ligne SAS' présente en A sa convexité à son asymptote, tandis que le contraire avait lieu au point B, lorsque l’on supposait 4>« (fig. 168 et 169).

La considération de l’équation [8] confirme ce résultat, qu il n’y a plus aucune inflexion; car elle se réduit à

Or, à x— — j répond une valeur imaginaire de y, et comme

le couple q anéantit <j(xx,ÿ) et <j(x,yt), ce point est un

pointmultipleet non unpointd’inflexion(4<>5etnotede4o2).

Observons que l’équation 2.r’-j-3rr.r — «*=0, formée en égalant à zéro le coefficient angulaire de la tangente, a ses racines de signes contraires; que la négative répond au point minimum de UV, et la positive au maximum de OA; mais que pour toute valeur de x moindre que celle-ci tanga est négative. C’est que, pour a = bf l’équation [1] revenant à

y=z ir(jr — a )y/ - , on voit que pour le signe su-

périeur répond à une valeur négative de^et détermine ainsi la partie de la feuille OA, qui s’étend au-dessous de l’axe des Fig. m abscisses.

Si a est nulle, l’équation [I] se réduit à \y'-x(x-b)]x=0,

de sorte qu’elle représente le système de l’axe des^- et d’une hyperbole équilatère qu’il est facile de construire.

3' Cas. b<C.a. Alors l’ovale OA a b pour diamètre, les *70 deux branches SliS1 et UVU'V' commencent à des distances égalesà a del’axedes^-. De plus, la quantité b' — 4 ah — 4a’^>0: ainsi SB a une inflexion, mais UVU'V' n’en a point.

Si b diminue, le nœud OA se resserre et finit par se ré- Fig. m duire à un point quand b=0. Ce point est tout à fait séparé du reste du lieu dont la forme générale reste la même, et c’est par conséquent un point conjugué. Si on fait b= 0, dans la formule [4], elle se réduit à

tang a =

z?-\-ax — a 1 (.r-j-a) y' J* — a*

et cette tangente devient imaginaire pour a:=0, ce qui est fort naturel (41>8).

Si «et b sont milles, les asymptotes deviennent les bissec- Fig. t"3 trices des angles des coordonnées; et alors la partie SAOSf de

la figure 171 se réduit à ces droites; car d’abord la feuille OÀO devient un point, les branches AS et AS', qui présentent leur convexité aux asymptotes et ont un point O commun avec elles, ne peuvent pas en différer. Quant aux branches UV et U'V', leur point minimum est l’origine ; ces branches coupent aussi les asymptotes à cette origine , donc les parties LJM et mS s’aplatissent sur l’axe des p, et les parties VM et V'M' sur leurs asymptotes. En effet , l’équation [1 ] devient

•sx — ■r,=0, d’où P ^

J — vf '•