Exem p le II. Construire l'équation

Fig- ni rapportée à des coordonnées rectangulaires et en prenant le centimètre pour unité.

On en tire j-=^£±L-,

ou, en effectuant la division du numérateur par le dénominateur,

Or, si l’on compare cette équation à l’équation

formée en égalant^ à la partie entière du sécond membre de la précédente , on voit que, si l’on construit la droite AB, lieu de cette équation , il suffira, pour obtenir les différents points de la ligne cherchée, d’augmenter chaque ordonnée

de la droite AB de la valeur que prend la fonction

pour l’abscisse que l’on, considère, de sorte que cette fonction représente les ordonnées des différents points de la courbe, comptées à partir de AB. Je désigne en conséquence cette ordonnée par pt , et la discussion de l’équation proposée se trouve ainsi ramenée à celle de l’cquation plus simple

Jx 2‘

Four suivre plus facilement les variations de p, je cherche

la racine réelle de l'équation 2=0; car il est évi-

dent qu’elle en a deux imaginaires, puisqu’il manque un terme entre deux autres qui ont les mêmes signes. Elle tombe entre 0,5 et 0,6 ; je la représente paraet jediviseaA-j-âr — 2 par x — a, ce qui donne pour quotient x-’-j-fljr-|-fl,-|-3. De cette manière, la valeur de^’, devient

-*1 (x — a)(x1-|-tf.r-|-a,-|-3)'

Maintenant je fais varier x depuis zéro jusqu’à l’infini positif et jusqu’à l’infini négatif, et je forme le tableau suivant, en n’oubliant pas que le polynôme fl:’-]-fl.t -j-fl,-|-3 reste constamment positif, puisque l’équation formée en l’égalant à zéro a ses racines imaginaires :

jc= 0 donne.

xaug'° < a. .

x aug,e < 1 . .

x aug1” ....

x aiig'” ....

X — QO ....

• • • Tx—— §>

. . . jrt négatif, mais incertain,

* ‘ ’ ■ri = 0° »

. . . diminue positivement,

. . • Ji négatif et incertain ,

• * • (x-ffl)(.**—

. . . y\ incertain et négatif,

On voit par ce tableau que la courbe coupe l’axe des jr à la ‘

distance CD = - de AB ; qu’à partir du point D elle s’approche indéfiniment de la droite EF menée parallèlement à l’axe des ordonnées à la distance a de cet axe; qu’une seconde branche a aussi cette droite pour asymptote , qu’elle s’en éloigne en se rapprochant de AB qu’elle coupe au point G, à un centimètre de i’axe des^*; cette branche descend au-dessous de cette droite et s’en rapproche ensuite indéfiniment, à mesure qu elle s’éloigne de l’axe des y, donc CB est une asymptote. La branche UD»passe à gauche de l’axe des y, coupe l’axe des a: en I à un centimètre de l’origine , poursuit

son cours et se rapproche indéfiniment de AC, qui en est par conséquent une asymptote.

Je forme maintenant le coefficient angulaire de la tangente

jr) — 3LK*1 + 1 )— ■ A * X) =** -f-3x— -2;

<p’(x, /O 2 "I (i»+3*— ij* ■

Ainsi pour x—0, on a tanga = — -,

x—\ tanga= — 5.

Pour avoir le point le plus bas de la branche ST , je pose 2-r*— 3.r* — 1=0,

et je trouve que cette équation a une racine réelle comprise entre 1 ,6 et 1 ,7 : la valeur correspondante de y est 0,7 environ.- Les deux autres racines de cette équation sont iina- • ginaircs.

Comme la parallèle AB à l’axe des x est asymptote de la brandie ST, cette ligne a au moins une inflexion. Nous allons la chercher.

on a donc l’équation (452)

ou, en éliminant^-, effectuant et réduisant,

x? — 2a:* — — 2a: — \ =0, équation qui revient à„

Il y a donc trois inflexions dont une est au point I où la courbe rencontre l’axe des x, et les deux autres en H et en K. Il est alors facile de tracer la courbe.

*468. Exemple III. Discuter l'équation y* — 3axy-j-x”=0

rapportée a des coordonnées rectangulaires .

DISCUSSION DES ÉQUATIONS. «'i

On voit à l’inspection seule de cette équation que la courbe Fi«- 1,:qu’elle représente passe par l’origine; quelle n’a aucun point situé dans l’angle /Or, puisque l’équation proposée ne pourrait être vérifiée par aucun couple de valeurs négatives de x et de /, et qu’à toute valeur positive donnée à x correspondra une et une seule valeur négative de/, et réciproquement; car l’équation proposée est symétrique en x et eny; donc la courbe a deux branches qui s’étendent indéfiniment dans les angles XO/ et YO~r.

Pour déterminer les limites de la courbe, je pose

<p(. xiX) ~ 7* — 3 axjr-\-a? — 0

et

?'(-^/)=3/-3«r=0 ?(■*,/) — f — 3ax/-\-x>-~ 0

Le premier système donne les couples

.r = 0] x=rty2) j=0j’

et il est évident qu’à d’équations donnera

cause ue

f=aÎ2)

Ou voit ainsi que le couple r^u‘ra a coeffic‘ent

angulaire de la tangente

r) *—gy

<?'(*, n) y*— ax’

et qu’en conséquence l’origine peut être un point multiple (435). Or, en nous reportant à if exemple I du n" 4o4, nous reconnaissons que l’origine est, en effet, le point d insection de deux branches qui sont tangentes aux deux axes des coordonnées.

Maintenant, pour savoir si le point (c/y 2, c/y^ est un point maximum ou minimum, je représente par c/y/2 +4 et par c/y'4-f4 les coordonnées d’un poiiü de la courbe pris aussi près que l’on voudra du point (ay/2, rty 4), et j écris que ces coordonnées vérifient l’équation proposée; mais afin

d’effectuer ce calcul le plus simplement possible, je formerai auparavant les dérivées successives de son premier membre. En supposant ensuite dans ces dérivées x = ay2, y=. ay4, nous trouverons, en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de k {4 Ig., 34i),

d’où l’on voit que si II est une quantité positive moindre que a\i 2, ou une quantité négative dont la valeur absolue soit plus petite que 3ay*2, les valeurs réelles de k données par cette équation seront négatives , et qu’ainsi tous les points dont les abscisses sont comprises entre — 2<iy2 et -j-2«y2 ont leurs ordonnées moindres que a y/4 ; donc le point («y 2, «y 4) est un point maximum. De plus, la tangente en ce point coupe la courbe au point ( — 2a\j2, a y/4); car, pour h — — 3«y2, on a k= 0.

Comme l'équation proposée est symétrique par rapport à x et à j", on conclut de là que le point («y 4, fly2) est un point-limite, et que la tangente en ce point coupe la courbe au point {a\JA, — 2ay2).

On voit par tout ce qui précède que deux branches issues de l’origine s’étendent dans l'angle YOX et viennent s’y réunir pour former une feuille inscrite dans le carré OABC.

Il ne nous reste plus qu’à chercher les asymptotes de la courbe. Nous mettrons, pour cela, cette équation sous la forme

^x*=0’, ainsi le coefficient angulaire de

l’asymptote est donné p$r l’équation