d’où c

et l’ordonnée à l’origine a pour valeur d— j = — a,

de sorte qu’il n’y a qu’une seule asymptote oblique à l’axe des y, et laquelle est perpendiculaire à la bissectrice de l’angle YOX, puisque son équation est

II n’y en a pas qui soit parallèle aux axes; car aucune des deux variables x et y ne peut devenir infinie à moins que l’autre ne le soit aussi. Donc la droite r— — x — a est asymptote des deux branches infinies.

Si , pour tracer très-exactement le lieu de l’équation proposée, on veut calculer les coordonnées de quelques-uns de scs points, on pourra le faire très-facilement par le procédé suivant, que M. Lacroix a indique dans son Traité de calcul différentiel. Je pose x=ty, t étant une inconnue auxiliaire, et en substituant cette expression de x dans^J — Zaxy-\-x?—Q, j'obtiens une transformée qui est divisible par y' et se réduit

à l*y — 3r/f-|-^=0, d’où ^•= et par suite x—

Ainsi, en donnant à t des valeurs arbitraires, on aura pour x et pour y des solutions de la proposée, sans qu’il soit necessaire d’extraire aucune racine ou d’avoir recours à la résolution si pénible des équations numériques. Si, par exemple,

on suppose /=1, il vient^=-*- et .r=~, de sorte que ce

point, ayant ses coordonnées égales, appartient à la bissectrice de l’angle YOX. Or, si l’on introduit ces valeurs de x et de^‘ dans l’expression du coefficient angulaire de la tangente, on trouve — 1 pour sa valeur : donc la tangente au point

(y* ~^) est PerPent^'cu^a*re a cette bissectrice de l’angle YOX.

C’est donc le point de cette branche qui est le plus éloigné de l’origine. La courbe que nous venons de construire est connue sous le nom de folium de Descartes* .

Exemples. ymz=am~nx*, nf^Û. y=x3 — 2-r1 — x-j-3.

y(x — 1 )* — ,rs=0. y(xt — x — 2)— .r-j-3.

Cr-'O’-K-*— 2)’=o. ' -

f — yx3 — 1 =0.

cdy — j.j-[-1 =0.

y — 96a*yJ-|-1 OOfl’.ï* — .r‘=0.

y’ — 2x(x — a) y1 — .r* — 5 ax3 — 0 .

* Le théorème que nous avons démontré, dans la note du n° 221,

tllk GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

On trouvera dans les Compléments de mathématiques spéciales* de M. P. H. Blanchet un choix précieux d'exemples de discussions de courbes.

§ II. Coordonnées polaires.