RELATIONS ENTRE LES ÉLÉMENTS D ON TRIANGLE

triangle A'B'C, qui est évidemment semblable au triangle proposé ABC, de sorte que l'on a

AB : a'b' : : ac : A'C : : bc : B'C'.

Or, l’angle A, étant égal à A', a pour mesure la moitié de l’arc B'C, et par conséquent son sinus est la moitié de la corde B'C de cet arc (54 et 6). Par une raison semblable, i i

sin B=- A'C/ et sin C=^ A'B'. Si donc on divise par 2 tous

les conséquents de la suite ci-dessus , on trouvera

c : sinC ::&:sinB::a:sinA,

ce qui démontre notre théorème.

62. Nous allons maintenant chercher une relation entre deux côtes d'un triangle, l'angle qu'ils comprennent et Pang/e oppose’ à P au d'eux; par exemple , entre a , b , C. et A. Or, puisque sinB=sin(A-|-C), l’équation asinB=& sin A, devient

rtsin(A-{-C)=£sm A [S'il*

Telle est la relation demandée.

Si l’inconnue de la question est une des trois quantités a, b, C, il sera facile de tirer sa valeur de cette équation; mais si cette inconnue est l’angle A, comment faire? L’équation [51 ] revient à

b sinfA 4-C)

a sin A ’

d’où l’on tire, par un principe connu d’arithmétique,

b-\-a sin(A-f-C)-(-sin A ,

b — a sin(A-)-C) — sinA ’

et par conséquent, en vertu du théorème du n° 57, b— a C ’

formule au moyen de laquelle il sera facile de calculer la valeur de l’angle A.

On peut lui donner une autre forme , en observant que ^ est le complément de A-^— , et que — est le complément

d' (A+9 = il en résulte que tang 5 = cot

tang

et que tang ( A ^ = cot

tang-

La formule précédente devient par la substitution de ces valeurs

H-«taP gl(B+A)

1 a *ang|(B— A)

Ainsi , dans tout triangle, la somme de deux côtes est à leur différence , comme la tangente de la demi-somme des angles opposés à ces côtés est à la tangente de leur demidifférence.

Pour démontrer directement ce théorème, on partira de la formule

b sin B a sinA ’

d’où l’on tirera (37)

b-\-a sinB-l-sinA b — a sinB — sinA

tane|(B+A)

tane^CB— A)

Comme nous supposons que a, b, C sont donnés, on connaît

trois termes dans la formule [52], puisque — -—90° —

on pourra donc en déduire — ^ — et par suite calculer A et B.

Ainsi la formule [52] peut très-bien remplacer la formule [51 ].

A l’aide de ce théorème et de ceux que nous avons démontrés aux nos iîiî et 61 , on pourra résoudre un triangle obliquangle quelconque, pourvu que parmi les trois données il y ait au moins un côté.

63. Prouvons analytiquement que la connaissance des angles d’ un triangle ne peut pas suffire à la détermination de ses côtés. Pour démontrer ce principe, je commence par établir qu’au système de trois équations à trois inconnues A = 0, B=0, C=0 [a],

RELATIONS ENTRE LES ÉLÉMENTS D’ON TRIANGLE, on peut substituer les équations

formées en les ajoutant deux à deux. Il est d’abord évident que tout système de valeurs des inconnues qui satisfait aux équations [a] vérifie les équations [p]. On voit ensuite que tout système de valeurs qui vérifie les équations [p] vérifie aussi celle qu’on obtient en retranchant la troisième de la somme des deux premières, c’est-à-dire l’équation CA— |— B) — (— (A— J— C) — (B-j-C)=0, ou A=0 : par une raison semblable, ce système satisfait aussi aux équations B=0, et C = 0; donc le système des équations [p] est équivalent à celui des équations [a].

D’après cela , je combine les équations [50] deux à deux par voie d’addition, et en supprimant les facteurs c, l>, a , communs aux deux membres des équations résultantes , ce qui est permis , puisque ces quantités ne sauraient être nulles, ii viendra

a cos B- -bcosA=c \ flcosC--ccosA=£ > [>y],

/>cosC--6‘cosB=fl /

de sorte qu'au lieu de trois équations du second degré, nous n’avons plus à résoudre que trois équations du premier. J’élimine donc c entre les deux premières , et je trouve

a (cosAcosB-j—cosC)— J-^cos’ArziÆ,

ou cosAcosB-f-cosC= ^sin*A [£].

Pour éliminer c entre la première et la troisième des équations [y], on observera que la première ne change pas quand on y permute a et b, A et B, tandis que par cette même permutation la seconde devient la troisième : si donc on fait cette permutation dans l’équation [&], on aura précisément l’équation finale que fournirait l’élimination de c entre la première et la troisième des équations [y]. Cette équation finale est donc

cos B cos A-|-cosC= 7 sin* B [«].

Mais, en vertu du n° G i , on a

<zsinB=^sinA, d’où l’on tire a’sin'B=éi*sin,A,

TBKîONOMÊTKlL.

et , en divisant les deux membres de cette dernière par ab, 7 sin*B= - sin’A.

Les équations [à] et [e| sont donc identiques; donc on n’a qu’une seule équation entre les deux inconnues a et b, qui sont par conséquent indéterminées . Quant à leur rapport p il est au contraire déterminé, puisqu'il a pour va-

, cos A cos B -j-cosC leur ■

Pour reconnaître que les équations [-y] sont indéterminées, on pourrait observer que les termes tous connus de ces équations étant nuis, il suffit de vérifier que le dénominateur commun des valeurs des inconnues a, o, c, est égal à zéro {Algèbre, 1 i>2). Or, en formant ce dénominateur par la règle de Cramer ( Algèbre , 140), on trouve

— cos’A — cosVB — cos’C — 2cosAcosBcosC-j-1 ;

quantité qui se réduit à z<:ro, lorsqu’on y remplace cosC par son égal — cos(A-|-B)=: — cos AcosB-J-sin AsinB.

64. Comme les tables trigonoinétriques donnent les logarithmes des sinus, cosinus, etc. des arcs moindres que 90°, et non pas les valeurs mêmes de ces lignes, il faudra préparer les formules que nous avons données pour la résolution des triangles, de manière qu’on puisse y appliquer les logarithmes, c’est-à-dire qu’on ne soit obligé de passer des nombres aux logarithmes et de revenir des logarithmes aux nombres que le moins souvent possible. On atteindra ce but en transformant l'expression de l’inconnue en produits ou quotients de puissances quelconques de quantités dont les tables fassent connaître immédiatement les logarithmes , si cette expression a une tout autre forme, et la chose sera possible ; car

On peut toujours calculer par logarithmes la somme ou la différence de deux quantités , et par suite la somme algébrique de tant de quantités que ton coudra.

1° Soit d'abord un binôme (a.-\-b) dont les deux termes sont positifs. Je mets a en facteur commun , ce qui donne

Or, nous avons vu que si un arc croît