Exemple I. Discuter t équation

^ cos<i> cos 2m , ,

Fig. 172 Je remarque, 1° que cette équation ne sera pas altérée si l’on y change co en — co, et qu’en conséquence la courbe qu’elle représente est symétrique de part et d’autre de l’axe polaire. Il sera donc inutile de donner des valeurs négatives à co .

2° Que si l’on suppose w = 180°-}-a, le second membre ne fera que changer de signe. Il faudra donc porter cette valeur de p dans le prolongement du rayon vecteur qui fait avec l’axe polaire l’angle 18U°-}-a, de sorte qu’on retrouvera le point déjà obtenu pour w=a. Donc en faisant varier <o depuis 1 80° jusqu’à 300°, on retrouvera les points déjà obtenus en donnant à w des valeurs comprises entre 0° et 180°.

11 sera aussi inutile de donner à co des valeurs plus grandes que 360°; car l’équation déterminant alors pour p les mêmes valeurs que quand co est < 360°, on repassera par tous les points précédemment obtenus.

Enfin , si l’on observe que faire co = 90°-{-a donne au signe près la même valeur de p que celle qui répond à co=90° — a , de sorte qu’il faudra porter cette valeur de p dans le prolongement du rayon vecteur qui fait l’angle 90°-{-a, on voit que le point (p, 9Ù°-|-a)est le symétrique par rapport à l’axe fixe du point (p, 90“ — a) ; par conséquent, la branche correspon-

donne le moyen de réduire l’équation y* — 3axy ,rs — 0 au deuxième degré par rapport à l’une des variables, y par exemple; car, si Ton prend la bissectrice de l'angle des coordonnées positives pour axe des abscisses, et une perpendiculaire à eette droite pour axe des ordonnées, il faudra que, pour chaque valeur donnée à x , l’équation de la courbe rapportée à ces nouveaux axes détermine pour / deux valeurs égales et de signes contraires; donc elle ne devra pas renfermer d’autre puissance de > que la seconde, et alors on pourra appliquer à la discussion de cette équation transformée la méthode du n" 404.

. * Paris , chex Hachette.

DISCUSSION DES EQUATIONS. 475

dante aux valeurs de p comprises entre 90° et 1 80“ est la symétrique de celle qu’on aura trouvée en faisant croître o depuis zéro jusqu’à 90°. Donc enfin il suffira , pour tracer la courbe demandée, de donner à <o des valeurs croissantes depuis zéro jusqu’à 90*.

On formera facilement le tableau suivant :

w = 0 donne p = <z,

waug10<45° paug'%

w = 45° p = oo,

« aug" < 90* p négatif et incertain ,

u = 90“ p = co.

Il résulte de ce tableau que la courbe cherchée coupe l’axe polaire à la distance OA=« du pôle; quelle s’éloigne ensuite de plus en plus du pôle, à mesure que « augmente, et que le rayon vecteur devient infini pour w=45° ; que de 45° à 90“ le rayon vecteur est négatif, de sorte qu’en donnant à w des valeurs qui surpassent 45° d'aussi peu que l’on voudra, on aura (les points situés sur le prolongement du rayon vecteur correspondant et à des distances du pôle aussi grandes que l’on voudra; mais, quand to sera très-près de 90*, on retrouvera encore des points excessivement éloignés sur le prolongement du rayon vecteur, et ce rayon devient — oo quand o> = 90°. Donc il y a une seconde branche qui vient de l’in-

fini, se rapproche du pôle et s’en éloigne de nouveau jusqu’à l’infini.

Pour reconnaître plus exactement la forme de chacune des deux branches AS et VWU', nous allons mener à la première une tangente au point A, chercher le point minimum de la seconde et les asymptotes de toutes deux. Nous avons trouvé au n° 443 que

,, cos 3 o) 4- cos <o

tanSM = 3sin3Ü+sin»’

COS CO COS 2 W = 2 (cos 3w -{- COS tu) ,

I3 cos 3w -f- cos w’

on en conclut que l’expression de la sous-tangente est

et comme d’où