Exemple II. Discuter V équation p=acos3w-|-Æ
J’observe d’abord que cette équation ne change pas lorsque l’on y remplace w par — o>, et qu’ainsi elle est symétrique par rapporta l’axe polaire; ensuite, qu’il sera inutile de donner à <a des valeurs positives plus grandes que 360" ; caron repassera alors par les points obtenus en faisant varier cet angle de 0° à 360".
Je remarque encore que notre équation donne les mêmes valeurs pour p lorsqu’on y fait w=60" — a et«o=60"-j-a, ou <u =120°— -a et w = 120" -[-a; donc notre courbe est symétrique par rapport aux droites OX et OY, qui, menées par le pôle, font avec l’axe polaire des angles de 60° et de 120". Il suffira donc de faire varier w depuis 0° jusqu’à 60°, et de construire la portion correspondante de la courbe; on pliera alors la figure le long de la droite XO, et on tracera ainsi la portion comprise entre cette droite et OY; on obtiendra celle qui s’étend entre cette dernière droite et le rayon vecteur OX' dont l’inclinaison est de 240", en faisant tourner la figure autour de la droite OY; et enfin on terminera la courbe eu pliant
la figure le long de la droite OV. Faisons donc varier « depuis zéro jusqu’à 60°. Trois cas se présentent, suivant que a>ô, a— b et a<^b.
I'r Cas. a^>b.
<ù = 0 donne p=<z-|-£,
w aug'" < 30° p diminue,
waugl''<|arccos= — - p diminue,
w=~arccos= P=0,
w aug" < 60° p aug1' négativement ,
Ainsi, on prendra sur l’axe polaire une distance OA = « +*>
et le point A sera le point d intersection de la courbe avec cet
axe; à partir de ce point, elle se rapproche constamment du
pôle, coupe le rayon vecteur incliné de 30°, au point B tel
queOB = £, et vient passer par le pôle quand w est égal à
l’angle EOA, tiers de l’angle DOA qui a — ^ pour cosinus. Elle
s’éloigne ensuite du pôle dans le sens du prolongement des rayons vecteurs compris entre OE et OX, et coupe ce dernier rayon au point C dont la distance au pôle est égale à
Cherchons tang M. On fait, pour cela, le calcul suivant : f +k=a cos (3<o —J— 3 fi) i
^ = cos(3w -f - 3/i) — cos 3o> = — 2sin ^3<o -(- s in y ;
3sin(3w+f)-3r'i ilim£=— 3sin3«.
p (a cos 3(0 4-4)’
tangM= — 5 — .—5—, OT= 5 — r— — .
o 3flsm3u> 3flsin3b>
w = 0” donne OT= — x> ,
co=300 OT=— Ta'
o» = GO" OT= — » .
Ainsi la courbe coupe à angles droits l’axe polaire et le rayon vecteur OX. Elle est tangente à la droite OE; car
acos3w-j-4=0 donne OT=0, et, en effet, cette droite OE coupe évidemment la courbe en deux points réunis en un seul au pôle. Nous n’entreprendrons pas de déterminer les points maximums par rapport aux axes de symétrie; car l’équation de laquelle dépendraient les valeurs correspondantes de oj serait au moins du huitième degré. Le lieu de l'équation proposée a à peu près la forme représentée dans la fig. 176.
2' Cas. a— b. Dans ce cas, l’angle DOA est égal à 180% et ainsi la branche OCO se réduit à un point; mais la valeur de la sous- tangente OT, correspondante à ui = 60% se présente sous la forme §. Pour en trouver la véritable valeur, je fais oi=60° ce qui donne
Q^, <1 — cos 3 4)3
4«sin
o • »3/* 2«sin'y
3 sin 3/i
3 sin 34
3 cos
formule qui, pour 4 = 0, se réduit à OT=0; ainsi la branche AO est tangente en O au rayon vecteur de 60°.
3’ Cas. a<fb. Dans ce cas, p est constamment positif et diminue jusqu’à b — a.
471. On pourra se proposer pour exercices de discuter les équations
gy/2
sinoi-j-cosoi =a(cosoi — sinoi).
sin 3o> cosu) oy/2
yo
' sin 2w (sin ui -j- cos o))' ‘
5° p’cos!2oi — 4sin2oi=0.
a sin 2i.)
' sin w -f- cos o>
7° p’sinoicos’oi-j-p — 2sinoi=0.
a cos 2(.>
§ III. Applications.
472. Problèmes. I. Trouver T équation de la courbe dont tous les points sont tels (pie le produit de leurs distances à deu.e points fixes est une quantité constante m\ — Discuter réquation. — Points maximum et minimum.
On sera conduit à distinguer trois cas, savoir : m<f, m=c, m^>c, en appelant 2c la distance des deux points fixes.
Fig. n7 H. Étant donnés une circonférence O et un diamètre fixe
