CHAPITRE XXL

DE LA SIMILITUDE DES COURRFS Kîl GÉXÉaU ET DE CELLES DC RECORD ORDRE ES PARTICULIER.

*475. On appelle courbes semblables deux courbes (jue l'on peut placer de telle manière qu'en menant d'un certain point des rayons vecteurs h tous leurs points, ceux de ces rayons dont les directions coïncident, soient proportionnels { Géométrie , page 365 et suivantes).

L’origine commune de tous les rayons vecteurs se nomme le centre de similitude, et le rapport de deux rayons vecteurs homologues est appelé le rapport de similitude des deux courbes.

Si, après avoir ramené les deux courbes à leur position primitive, leurs rayons vecteurs homologues sont parallèles et dirigés dans le même sens, on dit que ces courbes sont semblables et semblablement placées.

* 47 4. Il suit de cette définition des courbes semblables que, si de l’origine des coordonnées on tire des rayons vecteurs à tous les points d'une courbe donnée

?Gr»j)=o [*]»

et que l’on divise tous ces rayons dans un rapport constant, le lieu de tous les points de division sera une courbe semblable à la courbe proposée. Or, si x et désignent les coordonnées d’un point quelconque du lieu de ^(j:,^-) = 0, et x1 el/ celles du point homologue de la courbe semblable, on aura d=mx et y=./np, de sorte qu'on obtiendra l’équation de

cette courbe en remplaçant, clans [ I ] , x et par et par — ,

ce qui donnera , en supprimant les accents ,

Telle est donc l’équation générale de toutes les courbes semblables à [1 J, qui sont semblablement placées, et ont le même centre de similitude.

DE LA SIMILITUDE DES COUIlBES. 481

Cela pose , soient

lequation d'une courbe semblable à [I], mais située d’une Fig. na manière quelconque sur le plan; Cf son centre de similitude,

O'M' le rayon vecteur homologue de OM, et a l’angle formé par ces deux droites : si l’on fait tourner la courbe [3] autour de O1 d’une quantité a, tous ses rayons vecteurs deviendront parallèles à leurs homologues, et les deux courbes [1 ] et [3] seront semblablement placées; si donc on fait alors glisser la deuxième courbe, de manière que tous ses points décrivent des droites égales et parallèles à 0*0, elles auront de plus le même centre de similitude, et, par conséquent, la nouvelle équation «le cette seconde courbe devra pouvoir s'identifier avec l’équation [2]. Or, ce double mouvement de translation et de rotation revient «à transporter les axes OX et OY, parallèlement «à eux-mêmes, de O en O' (94), et à les faire tourner ensuite autour de Cf d’une quantité angulaire a, mais dans un sens contraire au mouvement de rotation qu’on aura imprimé à la seconde courbe (97 . On substituera donc dans l’équation [3], au lieu de x et de /, leurs valeurs données par les formules *

x'sin(8 — a) — r'sina slnÔ ’

. . x'sina4- v'sinfÛ-f-aO

et si l’on peut assigner à a, b, a et ni des valeurs réelles et finies, qui rendent l’équation résultante identique avec [2], on en conclura que les deux courbes [1] et [3] sont semblables. Les équations de condition qui établiront la simultanéité de celles obtenues par l’identification des deux équations , exprimeront les relations qui doivent exister entre les coefficients indéterminés des équations [1] et [3], pour que les courbes qu elles représentent soient semblables.

Si les courbes [IJ et |3] doivent être semblablement placées, le calcul se simplifiera beaucoup; car a étant alors égal à zéro, les valeurs précédentes de x et dej^se réduiront à

x=za-\-a? et yz=.b-\^ÿ .

Enfin, si l'on voulait que les deux courbes fussent égales,

* On a fait a' — «=9 dans les formules du n° 90.

il faudrait supposer rn— 1 , ce qui nous ramènerait à la méthode du n° 104.

*47 5. Nous allons appliquer cette théorie générale aux courbes du second ordre; mais, pour le faire le plus simplement possible, nous considérerons d’abord une ellipse ou une hyperbole rapportée à ses axes principaux , de sorte que son équation sera ainsi

L’équation générale de toutes les courbes semblables à celle-ci sera donc

résultat qui nous apprend que toute courbe semblable à une ellipse ou à une hyperbole est elle-même une ellipse ou une hyperbole. On voit, en outre, que, pour savoir si une pareille courbe est semblable à celle que l’équation [4] représente, on devra la rapporter d’abord à ses axes principaux , ce qui ramènera son équation à la forme

et il faudra qu’en donnant à m une valeur convenable, on puisse identifier, avec cette équation , l’équation [5] qui représente toutes les courbes semblables à la proposée. On devra donc avoir

m'P—b* et mW=a d’où , en éliminant l’indéterminée m ,

Donc pour que deux ellipses ou deux hyperboles soient semblables, il faut et il suffit que leurs axes soient proportionnels (note du n° 452).

*470. Cette règle, dont l’énoncé est très-simple, a l’inconvénient d’exiger que l’on rapporte à leurs axes principaux les deux courbes dont on veut vérifier la similitude, ce qui entraîne dans des calculs assez longs : il est donc intéressant de chercher une autre règle qui donne le moyen de recon-