DF, LA SIMILITUDE DES COURBES

considère une de ces courbes rapportée à son axe et à son sommet pris pour centre de similitude, et qu’on raisonne comme nous l'avons fait au n° 474, on trouvera que l’équation générale de toutes les courbes semblables à la parabole y* = 2px est

y*=2mpx.

Or, ces deux équations ne diffèrent que par la valeur du paramètre; et, comme c’est de cette quantité que dépend uniquement la forme de la courbe , puisque c’est la seule constante qui se trouve dans son équation, on voit que toute courbe semblable à une parabole est elle- même une parabole, et que toutes les paraboles sont semblables.

*480. Cette propriété n’est point particulière à la parabole, elle convient à toutes les courbes dont l’équation réduite à sa forme la plus simple ne renfermera qu’une seule constante arbitraire. En effet, si on suppose que l’on n’ait pris aucune ligne déterminée pour unité , l’équation des courbes dont il s’agit sera homogène et pourra être représentée par

l’équation générale des courbes semblables à celle-ci sera donc

Mais si l’on chasse les dénominateurs, cette équation reviendra à

?(■*, f, ma)= 0;

car soit Ca.rx?yr un terme quelconque de la proposée que je suppose du degré n , par exemple (C est un coefficient numé-

rique), il en résultera le terme C«p dans 9 -, a J =0;

et ce terme multiplié par mn deviendra

CaP. mn-',-rx\ yr = C{arnfxqf .

Or, <p(.r, f, ma)= 0, est une courbe du même genre que la proposée; donc, etc.

*481. Si l’on remarque que l’équation [7] est satisfaite d’elle-même quand les deux courbes que l’on compare sont

des paraboles , on en conclura que cette équation exprime la condition générale de similitude des courbes du second ordre.

*402. Pour que deux paraboles semblables soient sembla* blement placées , il faut et il suffit que leurs axes soient parallèles et que leurs paramètres aient les mêmes signes , c’est-àdire (252 et 256, où N, P, Q représentent respectivement B D EN 2A’ 2Â’ 2A' 11116

2 A 2Âj

et que