DES COORDONNEES ET DES LIEUX DANS L'ESPACE

484. Imaginons dans l’espace trois plans fixes et connus de situation, tels d’ailleurs qu’ils se coupent en un même Fig. iso point O, et deux à deux, suivant trois droites indéfinies X.r, Yy, 7.z. Ces plans partagent tout l’espace en huit angles trièdres, de sorte que la position d’un point sera déterminée lorsque nous saurons dans lequel de ses huit angles trièdres il se trouve, et à quelles distances de ces faces il est situé, ces distances étant comptées parallèlement aux arêtes de ce trièdre. Que l’on nous dise, par exemple, qu’un point est, dans le trièdre OXYZ, à trois décimètres du plan ZOY, à cinq décimètres du plan ZOX et à six du plan XOY. Je prendrai sur les trois arêtes OX, OY’ et ÜZ des distances OA, O B et OC respectivement égales à trois, cinq et six décimètres, et en menant par les points À, B, C des plans qui soient parallèles aux plans ZOY, ZOX et XOY, je formerai un parallélipipède dont le sommet M, opposé à O, sera le point demandé.

Pour indiquer dans quel angle trièdre se trouve le point que l’on considère, on conviendra de regarder comme positives les distances comptées sur les arêtes OX, OY et OZ, et comme négatives celles qui devraient êtres portées sur leurs prolongements Oar, Oy et O z. Si, par exemple, le point M devait se trouver dans l’angle trièdre OZ.r>‘, nous dirions qu’il est à — 3, — 5 et-j-6 décimètres des plans respectifs ZOY, ZOX et XOY.

Les distances d’un point aux trois plans fixes se nomment les coordonnées de ce point , et on appelle ces plans et leurs intersections mutuelles les plans et les u.x:es des coordonnées. lie point O est dit l'origine. Les distances d’un point aux trois plans ZOY, ZOX et XOY étant comptées parallèlement aux

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axes Xx, Y/ et Lz, on est convenu de représenter ces distances respectives par x, y et z -, et de donner en conséquence à ces axes les noms d’axes des x, desjret des z. De plus, comme les points de chacun des trois plans se trouvent rapportés à ses intersections avec les deux autres, il est naturel de désigner chacun de ces plans par les coordonnées qui lui sont propres, et d’appeler ainsi les plans ZOY, ZOX et XOY les plans des zjr, des zx et des xy.

4Ro. Les points P, Q, R, où les trois coordonnées du point M coupent les plans fixes, sont les projections de ce point faites sur ces plans par des parallèles aux axes des z , des ^ et des x, de sorte que, si chacun de ces plans était perpendiculaire aux deux autres , les points P, Q , R seraient les projections orthogonales du point M. Ainsi, a, b, c désignant les coordonnées du point M, X X ^ j, ^ ^ j,

seront les coordonnées de ses projections sur les plans des xy, des xz et des )-z.

On voit par là que deux des projections d’un point étant données, la troisième s’ensuit nécessairement. C’est ce qu’il est d’ailleurs facile de reconnaître par une construction géométrique. Soient, en effet, P et Q les projections d’un point M sur les plans xy et zx ; si l’on tire PB et QC parallèlement à l’axe des x, ces droites détermineront sur les axes OY et OZ des distances OB et OC qui seront respectivement l'y et le z du point dont il s’agit; et, par conséquent, en menant BR et CR parallèlement aux axes des z et des y, leur point R d’intersection sera la projection du point M sur zy. Si donc les coordonnées des points P etQ sont respectivement [a, U), («, c), celles de R seront (ô, c).

48(>. Il y a dans l’espace, comme sur un plan, une infinité de systèmes de coordonnées au moyen desquels on peut fixer la position d’un point : nous nous bornerons à indiquer le suivant que l’on nomme système de coordonnées polaires, et dont on fait souvent usage dans la mécanique, et surtout dans l’astronomie. Soient XOY un plan fixe , et par un point O deux droites également fixes OZ et OX; l’une perpendiculaire à XOY, et l’autre tracée dans ce plan. Il est facile de voir que le point M sera déterminé, si l’on se. donne son rayon vecteur p, c’est-à-dire sa distance au pôle O, l’an-

gle 0 formé par ce rayon avec l’axe OZ, et l’angle a» que fait avec l’axe OX la projection du rayon vecteur sur le plan XOY. Pour qu’avec ces trois coordonnées c», 6 et p on puisse fixer la position d’un point quelconque de l’espace, il faudra faire varier l’angle w depuis 0° jusqu’à 300°; 0 depuis 0° jusqu’à 180°, et p depuis zéro jusqu’à l’infini; car, de cette manière, la portion de plan ZP z aura fait une révolution entière autour de Z z , et le point M aura pris toutes les positions possibles dans cette portion de plan.

487. Concevons maintenant une surface quelconque rapportée aux trois plans fixes des xy, des xz et des yz. Il est facile de voir, en imitant le raisonnement du n° 48, que l’une quelconque des trois coordonnées d’un point de cette surface est une fonction des deux autres, de sorte que si cette fonction est constante , l’équation qui établira ainsi la relation constante qui lie tes coordonnées de chaque point de la surface sera l’expression analytique de la loi géométrique suivant laquelle se succèdent ses différents points. C’est ce qu’on appelle t équation de la surface proposée.

488. Réciproquement toute équation <p(x, y, z) = 0 à trois variables représente en général une surface. Donnons, en effet, à la variable z par exemple, une certaine va-

Fig. 181 leur y, et traçons sur le plan des xrla courbe qui y est représentée par l’équation résultante <p(.r,/, y)=0. Si par tous ses points nous menons à OZ des parallèles qui soient égales à y, nous formerons ainsi une courbe plane, égale et parallèle à celle que nous avons décrite sur le plan des xy, et qui sera telle que les coordonnées de chacun de ses points formeront des solutions de l’équation <fx,y, z) — 0. Si, donnant à z de nouvelles valeurs y, f, f nous recommençons les mêmes constructions, nous obtiendrons de cette manière une suite de courbes planes parallèles au plan des xy, et d’autant plus rapprochées que les valeurs données à z différeront moins les unes des autres. Donc , si l’on fait croître z d’une manière continue, depuis — oo jusqu’à -j-oo , on obtiendra une série de courbes qui seront toutes contiguës, et qui formeront par conséquent une surface dont les points auront pour coordonnées tous les systèmes de valeurs de x , de /et de z, qui peuvent vérifier l’équation <p(.r ,/, z)=l). Donc une équation à trois variables x ,/, z représente une surface qui