DES COORDONNÉES ET DES LIEUX DANS L’ESPACE

est le lieu géométrique des points qui ont pour coordonnées tous les systèmes de valeurs de x , de^r et de ^ qui peuvent satisfaire à cette équation.

489. Si l’équation proposée ne renferme que deux variables comme <p(.'c, jr)=0, nous observerons que si, après avoir tracé sur le plan des xy la ligne qui y a o(.r,j) = 0 pour équation, on mène par les divers points de cette ligne des parallèles indéfinies à l’axe des z, on formera ainsi une surface cylindrique. Or, chacune de ces parallèles est le lieu de tous les points de l’espace dont les coordonnées x et j sont les mêmes que celles du point où elle perce le plan des xy: donc notre surface cylindrique est le lieu géométrique de tous les points dont les coordonnées vérifient l’équation <p(x,y)=zO; donc toute équation entre deux variables représente une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à l’axe sur lequel on compte les coordonnées qui n’entrent pas dans l’ équation , et sa trace sur le plan des deux autres coordonnées y est représentée par cette même équation.

490. H suit de là que si l’équation à deux variables est du premier degré , c’est-à-dire de la forme y= ax-fb , elle représente un plan parallèle à l’axe des s; car on démontre, dans les éléments de géométrie, que lorsqu’une droite glisse sur une autre en restant constamment parallèle à elle-même, elle engendre un plan.

491. Si l’équation proposée ne renferme qu’une seule variable, comme <p(.r) = 0 , elle se décomposera en autant d’équations partielles de la forme

qu’elle a de racines réelles et inégales. Or, tous les points dont les coordonnées vérifient cette équation x — «== 0, ont a pour abscisse, si a est une quantité réelle; donc ils sont tous situés sur un plan mené parallèlement au plan des zy, à une distance a de ce plan, et comme les points de ce plan sont les seuls qui aient a pour abscisse x et dont les coordonnées puissent , par conséquent , satisfaire à l’équation x — a = 0, on en conclut que ce plan est le lieu de cette équation. Il s’ensuit que l’équation à une seule variable ÿ(x)=0 représente le système d'autant de plans parallèles

à celui îles deux autres coordonnées qu'elle a de racines réelles et inégales.

Il suit de là que z— 0,^=0, .r=0 sont les équations «les plans respectifs xy, .r z, zy.

492. Une équation à une, deux ou trois variables peut ne représenter qu'un système de lignes ou de points isolés, ou même ne rien représenter, suivant qu’elle peut se décomposer en deux ou trois autres, ou qu’elle ne peut être vérifiée par aucun système de valeurs réelles. Ainsi les équations

0, é-^-y'-^-a,= 0, .é-\-yt-\-zi-\-(?= 0,

ne représentent rien.

L’équation

représente le point («, b, c); car cette équation ne peut être vérifiée qu’en posant à la fois

x — « = 0, y — b = 0 et z — c = 0,

c’est-à-dire qu’elle n’admet que ce seul système de valeurs réelles.

Mais l’équation

(x — aJ-{-(y — b~f = 0

étant satisfaite par telle valeur de z que l’on voudra combiner avec x—a et y— b, représente par conséquent tous les points qui ont le point (a, b) pour projection sur le plan des xy , c’est-à-dire, l’intersection des plans qui ont pour équation

x — a — 0 et y — b — 0.

495. Cette dernière observation nous conduit à cette conséquence fort importante, que le système de deux équations simultanées

<K-r» /> 2) = ° et 'K*,7> 2) = °>

c’est-à-dire dans lesquelles on donnerait les mêmes valeurs aux indéterminées, représente une ligne. Il est évident, en effet, que tout système de valeurs de x, y, z, qui satisfait à ces deux équations, détermine un point situé en même temps sur les deux surfaces, c’est-à-dire sur leur commune section,