DES COORDONNÉES ET DES LIEUX DANS L’ESPACE

et réciproquement. De sorte que, si l’on veut construire cette ligne, il faudra construire séparément les surfaces représentées par les deux équations y(x,y, z) = 0 et i^x,y, z) = 0, ou bien chercher les solutions communes à ces deux équations , et construire ensuite tous les points qu’elles déterminent.

494. Comme on peut toujours faire passer une infinité de surfaces par une courbe donnée , on voit que cette ligne peut être représentée analytiquement par une infinité de systèmes de deux équations. Il sera donc utile de choisir, pour déterminer une ligne dans l’espace, les deux surfaces dont les équations seront les plus simples possible. Ces surfaces seront généralement des surfaces cylindriques, parallèles chacune à l’un des axes coordonnés; car leurs équations ne renfermeront que deux variables. Ainsi , pour représenter une ligne située d’une manière quelconque dans l’espace, on concevra qu’on ait mené par tous ses points des parallèles à l’axe des x , par exemple, et la trace sur zy du cylindre ainsi formé sera la projection de la ligne sur le plan zy. En construisant de même une seconde surface cylindrique dont les génératrices soient parallèles à l’axe dcsj", et qui ait la ligne donnée pour directrice, on obtiendra la projection de cette ligne sur le plan zx, de sorte que quand une ligne est donnée, ses projections sur les plans coordonnés sont déterminées, et réciproquement; car si l’on a les projections d’une ligne sur deux plans qui se coupent, cette droite doit se trouver à l’intersection de deux cylindres connus.

Si donc

<p(.r, z)=0 et ty(y,z) = 0

sont les équations données de deux lignes qui sont , sur les plans xz et zy, les projections d’une certaine ligne située dans l’espace, ces mêmes équations, prises dans toute leur généralité, représenteront ses deux cylindres projetants, et par conséquent détermineront cette Hgne par leur simultanéité.

493. Le moyen le plus simple de représenter une circonférence de cercle, sera en général de la regarder comme résultant de l’intersection d’une surface sphérique par un plan, de sorte que ces équations seront le système des équations de cette sphère et de ce plan.

496. Puisqu'une ligne est déterminée quand on connaît ses projections sur deux plans coordonnés, sa projection sur le troisième doit s’ensuivre nécessairement. Comment donc obtenir l’équation de cette projection ou de ce troisième cylindre projetant? Soient (a, b, c ) les trois coordonnées x , y, z, d’un point quelconque de la courbe qui a pour équations

<fx, z)= 0 et i/Çy, z) = 0 :

a et b seront les coordonnées de la projection de ce point sur le plan xjr. Or, si entre ces deux équations on élimine z, il est clair que l’équation résultante

Tc(x,jr)=0

aura pour solutions uniques tous les couples de valeurs de x et de y qui, conjointement avec certaines valeurs de z, vérifient les équations proposées; donc elle est vérifiée par x=a et j'— b, et par conséquent par les coordonnées de tous les points de la droite qui projette le point Ça, b, c) sur le plan xy, c’est donc l’équation du cylindre projetant de la courbe sur ce plan.

Il suit de là que lorsque l'on connaîtra les équations de deux surfaces quelconques, il suffira, pour obtenir l'équation du cylindre qui projetterait leur commune section sur un des plans coordonnés, d'éliminer entre ces équations la variable que l'on compte sur taxe qui n'est pas dans ce plan.

497- Remarquons qu’en vertu des principes établis aux n0’ 491 et 493, si qÇx,y)—0 représente une ligne tracée sur le plan des xy, lorsqu’on ne s’occupe que des points de ce plan, cette ligne aura pour équations

<p(x,</)=0 et z=0.

498. Il suit du n° 494 que le moyen le plus simple de représenter une droite située dans l’espace, sera de se donner les projections de cette droite sur deux des plans coordonnés, sur zx et zy par exemple; et comme on sait que ces projections sont des lignes droites , leurs équations seront de la forme

x — - ciz ~| — oc , yzn^bz- j— [3.

Dans ces équations, a et (J sont les distances de l’origine aux