PROBLÈMES SUR LA LIGXE DROITE

soo. Problème. Trouver la distance de deux points donnes par leurs coordonnées.

Cherchons d’abord la distance £ du point M {£, jJ, d) à l'origine des coordonnées. Cette distance est la diagonale d’un parallélipipède dont les arêtes sont .d, y1, d; je désigne par (.r, y) , (.r, j) et (y, z) les trois angles XÔY, XOZ et YOZ. Cela posé, le parallélogramme OCMP nous donne

S,+CP’=2^+2ÔP,;

mais, en vertu du théorème fondamental de la trigonométrie rectiligne,

üF =^+y*-|-2^/cos(cr,7); donc <P-j-CP!= 2 [d* -\-yJt -\~di-\-‘ldjJ cos(.r, y] .

Nous trouverons semblablement, en considérant le parallélogramme ORMA ,

à-+Rr=2[^+/'+^+2y^cosCr, *)].

Enfin , le parallélogramme RCAP nous donnera CP’-fRÂ,=2^+2CÂ5=2[y8+.^A+i,,— îddcos{z,x)}.

Retranchant cette troisième équation de la somme des deux précédentes et divisant par 2 les deux membres de l’équation résultante, il viendra

fr=dl-\-yJi-\-di-\-‘2.dyt cos(.z,y)-}-2a^'cos(.r, z )

+ 2y*d cos (y, z). [1].

Si les axes sont rectangulaires, cette équation se réduit à

sw-f-y^ [2],

formule connue de géométrie.

Yeut-on actuellement trouver la distance des deux points M'y, y, d) et M "(x", y', z"), on observera que, si on mène par chacun de ces points trois plans parallèles aux trois plans

coordonnés , on formera un parallélipipède dont $ sera la diagonale, dont les trois arêtes seront parallèles aux trois axes des coordonnées, et auront pour longueurs respectives a! — xXr y 1 — y , d — par conséquent il suffira pour avoir la valeur de 8 de changer, dans la formule [1 ], xi, y, d, respectivement en sé — &J' ,y — j", d — d' , ce qui donnera

s*= (a/— x")’+ C/— /)*+(2'— z")*+ î(S-x'W-f) COS (x,j)

-J- 2 (j/— x") [é— z")cos(x,z)+ 2(/— f) [z'— z") cos {j, z) [3] .

Si les coordonnées sont rectangulaires, cette formule se réduira à

£’=(•*'— *"/+(/- yo’+C2' — 2")’ [4j-

Il est entendu que dans ces quatre formules il faut avoir égard aux sigues des coordonnées et des cosinus des angles ( x , y), ( x , z ) et (jr, z), comme nous l’avons démontré au

60 1 . Problème. Trouver les équations d’une droite assujettie il passer par dear points donnés.

Soient (xi, y, d ) et ( ’pd ', y , d') les coordonnées des deux points donnés. En répétant ici les raisonnements que nous avons faits au n° 117, on résoudrait facilement la question proposée; mais nous arriverons plus directement au but, en observant que les projections de la droite demandée sur les plans .rz et jrz doivent évidemment passer par les projections (x1, d ) et (x", d'), (yJ, d) et (jJI, z") des deux points donnés sur ces mêmes plans ; donc les équations demandées sont

z~dh X— ■ 0-

Si la droite demandée devait passer seulement par le point (pd, y , d ), il suffirait d’exprimer que ses projections sur les plans xz et yz passent par les projections de ce point sur ces plans, de sorte que ces équations sont alors

x — ad=a(z — d), y~y=b(z—d),

dans lesquelles fl et b sont deux constantes indéterminées.

602. Problème. Trouver le point de rencontre de deux droites données, i.

Soient

rt] x=az-\-a\ [c] x=fl'z4-a'j

’b] y=bz- [d] y=xUz- fp'j’

les équations (les deux droites données. Si elles se coupent, les coordonnées de leur point d’intersection devront satisfaire à ces quatre équations, et par conséquent on obtiendra ces coordonnées en résolvant ces équations. Or, trois équations suffisent , en général , pour déterminer trois inconnues. Si donc on tire les valeurs de x, de^- et de z de trois de ces équations, et qu’on les substitue dans la quatrième, il faudra que l’équation résultante soit satisfaite d’elle-même et par le seul jeu des signes, de sorte que cette équation sera la condition nécessaire et suffisante qui devra exister entre les coefficients de nos quatre équations pour que les droites qu’elles représentent se coupent. Pour effectuer l’élimination de x , y, z , je soustrais [«] de [c] et [/;] de [c/J , et je trouve

puis en éliminant z entre ces dernières, j’obtiens la condition ^a){$-Ç)-(V-b)(ol-*)= 0 [5].

Ainsi les deux droites ne se couperont pas si cette équation n’est pas vérifiée, et lorsqu’elle sera satisfaite, on obtiendra les coordonnées du point d’intersection en substituant la valeur de z tirée de l’une ou de l’autre des équations [ /* J dans [rt] et dans [A], ou dans [c] et dans [</]. On trouvera ainsi

a! — a P’ — p — ai' è’3 — è?’

Si on a a=d et b=d, l’équation [5] est vérifiée ; mais comme les valeurs de x, y, z deviennent alors infinies, il s’ensuit que les droites se coupent en un point qui est infiniment éloigné, c’est-à-dire que ces droites sont parallèles. Ainsi téquation [5] signifie que les deux droites sont dans un meme

plan {S 18).

1503. Scolie. a=ci et b— U sont les conditions de parallélisme des deux droites proposées; et, en effet, on a vu dans la géométrie que pour que deux droites soient parallèles, il faut et il suffit que leurs projections sur deux plans qui se coupent soient parallèles. Ainsi les équations. d’une parallèle, menée à la droite

xz=.az-\- a, y=bz-\-$

par le point ( fé , y), seront

504. Tout ce que nous avons dit dans le n° 501 s’appliquerait très- bien à deux courbes données : ainsi, en éliminant x , y, z entre les quatre équations qui représentent leurs projections, on parviendra à une équation de condition qui devra être satisfaite pour que ces deux courbes puissent se couper, et cette équation aura lieu entre les constantes qui déterminent la forme des deux courbes et leur position dans l’espace.

505. Problème. Trouver l’angle de deux droites données par leurs équations en coordonnées rectangulaires.

Deux droites situées dans l’espace peuvent très-bien ne pas se couper, mais alors elles ont encore une certaine inclinaison l’une à l’égard de l’autre, et cette inclinaison se mesure par l’angle formé par deux droites menées par un même point, et parallèlement aux lignes proposées (. Leçons de Géométrie, 408). Soient donc OA et OB ces deux parallèles, et Fig- 182

x=az) r i x—dz) r,-,

r=i>A M r=»A PI

leurs équations. Je prends sur ces droites deux distances OM' et OM" égales à l’unité linéaire, et je joins les points M' et M" : je formerai ainsi un triangle OÂFM" qui donnera ( Trigonométrie, 55)

2 cos V = 2 — M'M"*,

en appelant V l’angle cherché. Mais, si l’on désigne par (jé , jJ, é), et par (a?', jJI ,£') les coordonnées des points respectifs M' et M", on aura (500)

MîSf,’=(a/— xJj-\-(y— yf-yiy—

=2 — 2 y xj> -j -y y1 -y ,

car il est évident que

x* -\~y* - j- -z'1 =ï 1 et que xm -\~yn -j- z"* — 1 ; par conséquent

cos v = xj.é' -yy y -y

Or, on a, pour exprimer que (a/, jJ, d) et que (xJI, y", z" J sont les coordonnées des points Mf et Mff,

sd—ad ) sd'=dd'\

/=b£ j’ et y = y d'y

Donc

cos V^.r/'-f (ad+bU+\)dd'.

Mais, en remplaçant/ et^ par leurs valeurs ad et bd dans xh-\~y~\-dl=\ , on trouvera facilement

donc enfin

; par suite d'—z

cosY— +

W-fM'+t

Remarquons que , d’après la manière dont cette formule a été obtenue, les deux radicaux auront les mêmes signes, si les points M' et Mv sont situés tous les deux d’un même côté du plan xy, et qu’ainsi V désignera alors l’angle AOB ou son opposé au sommet A'OB', tandis que, si les points M' et M" sont placés de part et d’autre du plan xy, les deux radicaux devront avoir des signes contraires, et Y représentera dans ce cas l’angle AOBf ou son opposé au sommet A'OB. Ainsi on prendra te signe supérieur ou le signe inférieur, suivant que les deu.c côtés de C angle dont on demande le cosinus sont du même côté du plan des xy ou qu’ils sont dirigés de part et d’ autre de ce plan.

306. Si les deux droites données doivent avoir des directions perpendiculaires l’une à l’égard de l’autre, il faut et il suffit que cos V = 0, ce qui entraîne l’équation

ad-\-b/J-\- 1 = 0 [7].

Telle est donc la condition de perpemlicularité de deux droites dans V espace.