Si les deux droites sont parallèles, on doit avoir

V = 0, et partant cos V=± l , ce qui conduira facilement à l’équation *

{a—d)'+(b—U)'-\-{aU—bdy-.=o,

et, comme la somme de trois quantités positives ne peut pas

être nulle, à moins que chacune d’elles ne le soit en particulier, cette équation se décomposera dans les trois suivantes :

«=<'/, b=.U, aU=-bd.

La troisième de ces équations est une conséquence des deux autres, et on retombe ainsi sur les conditions que nous avons données plus haut (503).

508. Proposons-nous actuellement de trouver l’angle qu’une droite forme avec chacun des axes des coordonnées, par exemple, avec l’axe desx. Il suffira d’exprimer dans la formule [fi] que la seconde droite coïncide avec cet axe. Mais, comme sa projection sur le planez est alors l’origine, U est tout à fait indéterminée, et la seconde des équations [A] devient illusoire; par conséquent, il faut, pour déterminer notre seconde droite, avoir recours à sa projection sur le plan des.r^. J’élimine donc (498) z entre les équations [£], ce qui donne

on voit alors que le rapport^, tangente de l’angle que cette

projection fait avec l’axe des x, devient nul , si la seconde droite coïncide avec cet axe; et, comme alors la projection sur le plan xz est perpendiculaire à l’axe des z, d est infinie.

Faisons donc d=cc et 0 dans la formule [G] , et on trouvera, après en avoir divisé préalablement les deux termes par d; on trouvera, dis-je,

On trouvera de la même manière

eosB= db ■ — et cos 7 = dr

Ja'+V+i 1 Jié+V+i

en appelant a, [J, 7 les angles que la première droite fait avec les parties positives des axes respectifs des x, des jr et des z.

Il suit des remarques que nous avons faites sur la formule [6], que les signes devront se correspondre dans ces formules, et qu’il faudra prendre les signes supérieurs ou les signes inférieurs , selon que l’on considérera les angles que

forme avec les axes la partie de la droite qui se trouve audessus ou au-dessous du plan xjr.

Il est facile d’obtenir directement les trois formules précédentes; car, si l’on prend sur la direction de la droite don- Ftg H9 née OM une distance OM égale à l’unité linéaire , et que l’on achève le parallélipipède rectangle dont cette droite est la diagonale , il est facile de voir que les trois arêtes OA , OB , OC seront les cosinus respectifs des trois angles que nous avons désignes par a, j3 , y ; ainsi , en appelant (.r*, jr', £) les coordonnées du point M , on aura

COSa=x', 005^=^, cosy—zl.

Mais, si x=az et j—bz sont les équations de la droite OM , on aura évidemment

cé—a£, y=b£, et xh-\-jH~y£l=\ ,

équations d’où l’on tire

et par conséquent

eosg=-t-—— a , cos ztr — ^ .

C0S7— rb , ■

Remarquons que ces trois cosinus sont liés par la relation cos,a-|-cos!(2-j-cossy:=1 .

Et, en effet, ce sont trois arêtes contiguës d’un parallélipipède rectangle dont la diagonale est égale à l’unité linéaire.

«509. L’expression que nous avons trouvée plus haut (i505) pour le cosinus de l’angle de deux droites peut se modifier d’une manière très-élégante au moyen des formules [8]. Si on appelle, en effet, a', (3', y' les angles que la seconde droite fait avec les trois axes coordonnés, on aura

cosa'=±-

r, cos P'=±-

, cos y =-

en introduisant ces valeurs de cosa, cosaf, cosfi, cos^, cos y, cosy dans la formule [6], il viendra

cosV=db(cosa cosa'-J-cosp cos (i'-j-cosy cos y) [9].

De même qu’au n° 505, on prendra le signe supérieur ou le signe inferieur suivant que les deux côtés de V angle V seront d'un même côté du plan xy ou de part et dé autre de ce plan.

510. Ces formules donnent le moyen d’exprimer les équations d’une droite en fonction des augles qu’elle fait avec les trois axes, car on en tire

cos a , cos 8

cos y cos y

et par conséquent ces équations seront de la forme

cos a ,

cos y 1/7 cos y

co s B ,