Problème. Trouver V équation du plan

La manière la plus simple de concevoir la génération du plan , c’est de le regarder comme engendré par une droite mobile qui glisse sur une droite fixe en restant parallèle à une direction donnée. Soient

x—az -}-a, y=bz-\-$ [a]

les équations de la directrice,

x=a!z-\-p, jr=Bz-\-q

les équations de la droite à laquelle la génératrice doit rester constamment parallèle , les équations de cette génératrice seront, par conséquent, de la forme

x=a!z-jrd, y=Uz- f-p' [A],

a! et p' étant deux quantités qui varient d’une position de la droite mobile à une autre. Pour que cette droite rencontre la génératrice, il faut que l’on ait entre leurs coefficients (502) la relation

(« — flf) o — pf) — (*— y) («— «0= o [c].

Maintenant, il est clair que, pour chaque couple de valeurs de a' et de {l! qui vérifieront cette dernière équation , les équations \Ji] seront complètement déterminées, de sorte qu’en les construisant, on obtiendra une des positions de la génératrice; mais, si l’on élimine a' et (3' entre les équations [ b~\ et [c], l’équation finale sera satisfaite par tops les systèmes de valeurs et par les seuls systèmes de valeurs dex,y, z, qui, conjointement avec certaines valeurs de a! et de (3f, vérifient les équations | A] et [c], c’est-à-dire par les coordonnées des différents points de la génératrice dans chacune des positions qu’elle peut prendre; donc le lieu de cette équation finale sera précisément celui de toutes les positions de la droite ino-

Dü PL&N.

bile, ou, en d’autres termes, sera la surface qu’elle engendre. Et on comprend , en effet , que cette équation finale étant indépendante des quantités al et | i' qui fixent la position de la génératrice, ne doit pas exprimer une propriété particulière aux coordonnées de ses différents points, plutôt qu’à celles des points de toute autre droite assujettie aux mêmes conditions; elle est donc l'expression de la relation constante qui existe entre les coordonnées de chaque point de la surface engendrée par la droite mobile ; donc elle est l’équation de cette surface.

Je substitue donc dans l’équation [c] les valeurs de al et de $ tirées des équations [6], et je trouve ainsi, toutes réductions faites ,

(J) — ü)x — (a — (oU — bel) [3 (a — (l) — a (b — U) = 0 .

L’équation du plan est donc du premier degré.

Cette équation contient six constantes arbitraires et trois coefficients seulement , car on peut diviser tous les termes par le coefficient de l’un d’eux. Cela signifie que trois conditions suffisent pour déterminer un plan (note du n° 409), et c’est , en effet , ce que la Géométrie élémentaire nous a appris.

S i 2. La réciproque est-elle vraie, c’est-à-dire toute équation du premier degré à trois variables représente-t-elle un plan * ? Soit donc l’équation

Ax-j-B/--}-Cz-j-D=0 [1].

Pour étudier la nature de la surface représentée par cette équation , je vais la couper par une série de plans parallèles à l’un des plans coordonnés, à celui des xp, par exemple; de cette manière, chaque ligne d’intersection sera égale et parallèle à sa projection sur xjr, de sorte qu’en cherchant cette projection, je connaîtrai suivant quelle ligne le plan sécant coupe la surface inconnue. Or, l’équation d’un pareil plan est de la forme

* Il a été reconnu aux n°‘ 400 et 401 qu’une équation du premier degré à une ou deux indéterminées représente un (dan.

j’élimine donc z (496) entre cette équation et l’équation [1], et, comme l’équation résultante

Ax-j-B/-}-Cc-[-D=0

est du premier degré , j’en conclus d’abord que tous les plans parallèles à xy coupent la surface suivant des lignes droites; ensuite que ces droites sont parallèles; car, les coefficients , de x et de^ dans l’équation précédente étant constants, toutes les droites qu’elle représentera lorsqu’on y fera varier c seront parallèles. Il suit de là que l’équation [1] a pour lieu géométrique un plan ou une surface cylindrique, selon que sa trace sur l’un des plans zx ou zy est une ligne droite ou une ligne courbe. Or, en faisant ^=0 ou x=0 dans l’équation [1], on trouve

Ax-(-Cs-j-D=0 ou Ba-j-Cr-j-D=0.

Donc toute équation du premier degré représente une surface plane.

613. Cherchons le point où le plan [1 ] coupe l’axe des x : il faudra, pour cela, faire 2=0 61^=0 dans son équation, puisque ce sont là les deux équations de cet axe, et on trouvera, en désignant cette distance par a,

on verra de même, en appelant b et c les distances de l’origine aux points où ce même plan coupe les axes des y et des z , que

b= — g et que C— — -.

Si maintenant on introduit ces trois distances dans l’équation [1], elle deviendra

équation analogue à celles que nous avons obtenues pour la ligne droite, l’ellipse et l’hyperbole.

Enfin, si l’on divise les deux membres de l’équation [1] par C, et qu’on pose, pour abréger,

DO PLAN

cette équation prendra la forme

z=ax-\-by-\-c,

analogue à celle que nous avons donnée à la ligne droite. Toutefois, on préfère ordinairement se servir de l’équation [1], parce qu’elle est plus symétrique.