Problème. Faire passer un plan par trois points donnés

Soient (xé, /, £), (£', y", z") et (a/", y"1, £") les coordonnées des points donnés : l’équation générale du plan

Ax -j-B y +Cz -fD=0 [1]

devra être vérifiée en y remplaçant x, y , z par les coordonnées de chaque point; ainsi on aura

Ax! +B/ — J— Cz' -f D=0,

Ax!' -j-B/' -f Gs" +D=0,

Az"'-j- B/" -j- Cz"'-|- D = 0 ,

desquelles il sera facile de tirer les valeurs des rapports A. B C

— , g et - . Désignons ces valeurs respectivement par A', B' et C,

et substituons-les dans l’équation; il viendra pour réponse à la question

A^+By+Cz-l-l =0.

1515. Si le plan n’était assujetti qu’à la seule condition de passer par le point (r', / z il n’y aurait qu’à écrire la condition

Az'-fB/-f-Cs'+D=0

dans l’équation [1], ce qui se ferait en retranchant ces deux équations membre à membre , et on trouverait ainsi pour l’équation cherchée

A(z— .T'j-fB/— y)-\-C(z— £)=0 [2].

1M6. Problème. Trouver les conditions nécessaires et sujjisantes pour qu'une droite soit située dans un plan. — Faire passer un plan par un point et par une droite donnés.

Soient x=az- J-a, y=bz- |-f3,

les équations de la droite, et

Ax -|- B/-j- Cz -j- D= 0

celle du plan.

Si la droite est tout entière dans le plan , il faut que , si l’on substitue dans l’cquation de ce plan les valeurs de x et de/ tirées des équations de la droite , l’équation résultante

(Aa-fB£-}-C>-f Aa-f Bp-(-D = 0 [X]

soit vérifiée, quelle que soit la valeur que l’on puisse donner à z; c’est-à-dire que l’on ait à la fois

Aa-|- BX> -J- C = 0 et Aa -f- B? -f D = 0 [3].

Telles sont les conditions demandées.

Si l’on veut faire passer un plan par un point et par une droite donnes, on observera que l’équation d’un plan mené par le point ( sé ) est de la forme

Kx — od) -f- B (7— ^') + C(z — d) = 0 , de sorte que D est égal à — (A.c,-f-B^xy-|-Czf) ; on tirera donc les valeurs des rapports ^ et - des équations [3] , et en les substituant dans l’équation précédente, on trouvera (y3 — bd — fl) (x — •,iJ) — ( x J — az — a) (y — jJ)

Xw-')-a(/±é>-*)= 0 [4]-

«il 7. Remarquons que l’équation [X] déterminant la coordonnée z du point où la droite proposée coupe le plan, si l’on veut exprimer que cette droite est parallèle à ce plan , il n’y aura qu’à égaler à zéro le coefficient de z, puisque la valeur de cette quantité sera alors infinie. Donc

Aa-fB£-fC = 0 [5]

est la condition qui exprime qu'une droite et un plan sont parallèles .

«if 8. Problème. Mener par une droite donnée un plan parallèle à une autre droite donnée.

Soient

x az — I — ol I x — - dz -4- d )

y=bz\-$) C jr = Uz- J-p')

DD PLAN

les équations respectives de ces deux droites : celle du plan étant représentée en général par

Ax -|- B/-}- Cz -J- D = 0 ,

on aura, pour exprimer les conditions de la question, les équations

Aa B/, -f C = 0 , Aa Bp -j- D = 0 et Aa'+B^-f-C=0.

En éliminant D entre la seconde et l’équation du plan, on trouve

Kx — «) + 'Kr— P) + c* = o ,

et on tire facilement des deux autres

— ab'—ba' ’ D — ab' — bt/ ’

de sorte que l’équation du plan est

(JJ — b)(x • — a) — (d — a) (y — p) — ( aU — bd)z = 0 [G].

Si l’on veut exprimer que les deux droites données sont dans un même plan, il suffira d’écrire que la seconde a un point dans ce plan, et qu’ainsi, par exemple, les coordonnées de sa trace sur xy vérifient l’équation [6]. On retombera ainsi sur l’équation [5] du n° «502.

Si 9. Problème. Abaisser d’un point donné une perpendiculaire sur un plan donné, et trouver la longueur de cette perpendiculaire %

1° On a démontré dans la Géométrie élémentaire que, quand une droite est perpendiculaire a un plan, les projections orthogonales de cette droite sur deux plans de projection étaient perpendiculaires aux traces de ce plan sur ces deux-ci : en conséquence, supposant que les axes coordonnés soient rectangulaires, je représente par (a/, y1, d') les coordonnées du point donné, et par

hx-\-YSy-\- Gz -j- D = 0

l’équation du plan. La perpendiculaire demandée devant passer par le point ( jJ , y1, d) , ses équations seront de la forme (SOI)

x — xl=a(z — d), y—f—Uz — d).

Maintenant, pour exprimer que cette droite est pcrpendicu-

510 GÊOMÉTHIE ANALYTIQUE.

laire au plan , je cherche les traces de ce plan sur les plans zx et zy, en faisant successivement y = 0 et z = 0 dans son équation , et je trouve

Ax -{- Gz -|- D = 0, Bj-f-C2-j-D = 0.

Chacune d’elles doit être perpendiculaire à la projection correspondante; donc

a=c et *=C’

donc x — x'=~(z — d) et y — V = ?(s — d) [7]

sont les équations de la perpendiculaire demandée.

Remarquons que si on avait C=0, ces deux équations se réduiraient à l’équation unique

qui est insuffisante pour particulariser la perpendiculaire demandée. C’est qu’en effet l’hypothèse C=0 signifie que le plan donné est perpendiculaire au plan xy (490), et que ses traces sur les deux autres plans coordonnés étant alors parallèles à l’axe des z, les plans qui projettent la perpendiculaire demandée sur ces mêmes plans coïncident, puisqu’ils ont d’ailleurs un point commun (x,y, d). Il faut donc avoir recours à la troisième projection, laquelle est

et en joignant l’équation z — z'=0 à celle-ci, la perpendiculaire sera complètement déterminée.

2“ Pour obtenir la longueur de cette perpendiculaire, nous raisonnerons comme nous l’avons fait au n° 44 , et nous serons ainsi conduits à mettre l’équation du plan sous la forme A(.r — 0+B{jr — /) -f C(z — d) -f- 1?= 0, en posant pour abréger iy= A^;-|- —J— Clc/ — (— U . Alors en

remplaçant dans cette équation (.r — xT) et (y — y) par leurs valeurs données par les équations de la perpendiculaire, on trouvera

—CD'

et par suite