BD

DU PLAN

En substituant ces valeurs dans la formule

*=(*-*9,-Kr -/?+(*->%

il viendra immédiatement

ou

£ I A-r'+By+ty-f-D rft-, ’ V/Âî+Bî+C* L

formule tout à fait analogue à celle que nous avons trouvée au n° 46, et qu’il sera également facile de traduire en langage ordinaire

Si la perpendiculaire part de l’origine , on aura simplement

v'A'-fB’-f-C 1 J

Remarquons avec soin que dans ces formules il faudra prendre le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que le point donné {ai d) sera situé au-dessus ou au-dessous du plan (45)

520. Problème. Abaisser d’un point donne une perpendiculaire sur une droite donnée, et trouver la longueur de cette perpendiculaire .

1° Soient {al, y1, i) les coordonnées du point et

x = az-\- a, y= bz-^-$

les équations de la droite donnée. Si par ce point et par cette droite nous conduisons un plan, et que par le point nous en menions un second perpendiculaire à la droite, il est clair que l’intersection de ces deux plans sera la perpendiculaire demandée. L’équation du premier de ces plans est la formule [41. Quant au second on trouvera facilement qu’il a pour équation

tf(.c — al)-}-b{y— — i=0 [10].

Telles sont donc les équations de la droite demandée.

2° Pour déterminer sa longueur, il faudrait chercher la distance du point donné au point d’intersection du plan [10] avec la droite donnée; mais les calculs ainsi effectués seraient très-longs. On arrivera beaucoup plus simplement au résultat cherché de la manière suivante.

Je joins le point donné M avec le point A, où la droite Fig. >83

512 GÉOMÉTHIE ANALYTIQUE.

donnée AB perce le plan des xjr, et je forme ainsi un triangle rectangle MAB qui donne

f= à sin V,

en appelant 5 la distance AM et V l’angle MAB. Or, les équations de la droite AM sont (501)

de sorte qu’en faisant dz mule [6] du n° 505 , on trouvera

et U z

dans la for-

cos Y:

mais à = y (3/ — donc en substituant dans l’équation p=z& sinV, il viendra

formule qu’il sera facile de réduire à

. /y^^'-af+iÿ- bz>- fl)’+[«(y— p)— l/y- «)]*