AB' — BÀ')’+ ( AC— CA'),-|- (BO— CB

Cette équation se décompose dans les trois suivantes

A B* — B.V=0, A il — CA'=0, BC — CBr=0,

desquelles on déduit

Ainsi, pour que deux plans soient parallèles, il faut et il suffit t/ite les coefficients des mêmes variables soient respectivement proportionnels dans leurs équations .

On aurait trouvé directement cette condition en observant que, d’après un théorème connu de géométrie élémentaire, pour que deux plans soient' parallèles il faut et il suffît que leurs traces sur deux plans donnés soient parallèles; or, les traces des deux plans sur zx et sur z/sont respectivement A.r-{-Cz-{-D=0 et A'.z." — | — s — { — D' = 0 j B7+Cz+D=0 et B'7+C/z+D'=0:

donc les conditions de parallélisme des deux plans sont

d’où

iî2£>. Cherchons actuellement les angles qu’un plan fait avec les plans de projection , par exemple, celui qu’il fait avec xy. Comme l’équation de ce plan est 3=0, il n y aura qu à faire V — 0 et B'=0 dans la formule [11], et en désignant cet angle par q, il viendra

On trouvera de même, pour déterminer les angles que ce plan

fait respectivement avec les plans zx et zy,

cos B — ~r- . , cosa=nr-7===— = •

Les trois angles a, p et q satisfont à la condition

cos’a-}-cos,p-j-cos,,y= 1 .

•>26. Problème. Déterminer la plus courte distance de deux droites données.

D’igitizfed by Googl

DU PLAN

Oii sait par la géométrie élémentaire que la plus courte distance de deux droites est une perpendiculaire commune à toutes deux. Ainsi la question proposée se compose de deux parties: 1° trouver les équations de cette perpendiculaire; 2° calculer la longueur de cette droite. Nous allons nous en occuper successivement.

1" Soient

Xzzz:(tZ— I— a) fT -i . 1— r2\ rrn

.r=fcW M et M

les équations des deux droites données. Il est évident que si par la droite [L] on conduit un plan parallèle à [U], et que par chacune de ces droites on fasse passer un plan perpendiculaire à ce plan auxiliaire, l'intersection de ces deux plans sera la perpendiculaire demandée. Or, l’équation générale du plan étant *

nous exprimerons qu’il contient la droite [L] et est parallèle à [LH, en écrivant qu’il est parallèle à toutes deux, et que sa trace sur xy passe par la trace de la première sur ce même plan coordonné. Nous trouverons ainsi

Aa-|-B£-j-1=0, Acé-f-B/Af 1=0, Aa+Bp-f-D=0.

Ainsi notre premier plan auxiliaire est complètement déterminé.

On tire des deux premières de ces équations

ub' — bd ’ ni)' — bd

Soit A'ar+B>--f-c-f iy=0

l’équation du plan conduit par [L] perpendiculairement au plan [«] : nous aurons entre A', B' et D' les trois équations

\'a — [— B'<6 — I = 0 , A'a-f B'fi-f-D'— 0, AA'-f BB'-fl=0, qui nous donneront facilement

B — b a — a'-j- b(ab' — bd)

-a[ab’ — bd)

Aè — RT A — a A b — B a

'b[bb—U-

* Nous supposons, pour plus de simplicité, que le coefficient de c soit l’unitc, ce qui est permis.

car il suffira , pour les obtenir, de remplacer, dans les valeurs trouvées pour A et B, d et U par A et B. Mais en retranchant de l’équation du plan , la seconde des équations de condition, afin d’éliminer D', on trouve

Nous aurons donc enfin, pour l’équation du plan mené par la droite [L] perpendiculairement au plan [a],

\a—d4-UaU—bd)\ (x— a )-\-[b—U—a(aU—bd)] (j — p) —[b(b— V)-\-a(a— d)]z=0.

Une simple permutation des lettres « eto', b et /7, a et a', p et (}' donnera, pour l’équation du plan conduit par[L] perpendiculairement au plan [«],

\(a^-d)4-U(aU—bd)\ (.r— J) +[b—U— d{aU—i bd)] —[U(b—V)+d(a—d)]z=Ü.

Telles sont les deux équations de la perpendiculaire commune aux deux droites.

2° Cherchons actuellement l’expression de la longueur de cette perpendiculaire. Pour y parvenir, je conçois par la droite [Lf] un plan parallèle au plan [a] : son équation sera

A.r+Bj-|-z+D"=0 [*],

D" étant déterminé par l’équation Aa'-|-B^-{-D"=0- Il est évident que la distance de ces deux plans sera précisément la plus courte distance des deux droites [L] et[I/]. Mais, si de l’origine on abaisse des perpendiculaires sur les plans [a] et [//], il est clair que la différence ou la somme de ces perpendiculaires mesurera l’intervalle compris entre ces plans, selon qu’ils seront situés d’un même côté ou de côtés différents de l’origine. Or, dans le premier cas, D et D" seront de mêmes signes , et de signes contraires dans le second : si donc dans les formules

î=±-= et y=±.. ^ ,

v/A’+B’+l v/A’+B’-fl

qui déterminent les longueurs de ces perpendiculaires, on prend D et D" avec leurs signes, la différence de ces deux fractions exprimera dans tous les cas la distance des plans [tf]

DU PLAN

et [i], et par conséquent celle des droites proposées, de sorte qu’en appelant A cette distance, on aura

Mais des équations qui déterminent I) et T)u on tire

ab'—bcl

Donc enfin

«orp— y)— (&— y)t«— o

y \a — «')*—)— [b — Uf -J- (a b' — in')1

On aura soin de prendre le signe supérieur ou le signe inférieur dans cette formule, suivant que le numérateur sera positif ou négatif.

Si les deux droites se coupent, A est nul, et il faut par conséquent que l’on ait

(« — J)($ — P') — [b — tf)(a — a')=0.

C’est la condition même que nous avons trouvée précédemment (SOI).

Si les deux droites L et Lr sont parallèles, la valeur de A se réduit à J-, et c’est en effet ce qui doit être, car les plans dont cette quantité A représente la distance sont tout à fait indéterminés , puisque, par deux droites parallèles, on peut mener une infinité de systèmes de deux plans parallèles. 11 faudrait, pour éviter l’indétermination, mener les deux plans [«] et \U\ perpendiculairement à celui des deux droites L et L'; mais il sera plus simple de calculer la perpendiculaire abaissée sur la seconde de la trace de la première sur le plan des#/, et on trouvera ainsi (d20)

A=+i À« - «f + (F— P)*+ KP - f» -