CHAPITRE XXV

527. Nous allons suivre ici la même marche que dans la géométrie plane, c’est-à-dire que nous supposerons d’abord que l’on déplace l’origine , en conservant aux axes leur direction , et ensuite que l’on change la direction des axes , sans déplacer l’origine.

Fig. 184 Supposons donc que les nouveaux axes des coordonnées soient parallèles aux premiers, et soient X'.é, Y 'jJ, ’/Jé ces nouveaux axes, et a, (3, q, les coordonnées de la nouvelle origine. On trouvera facilement, en considérant la figure 1 84, que les formules pour passer des anciens axes aux nouveaux sont

528. Cherchons maintenant les formules pour passer Fig 185 d’un système de coordonnées obliques OXYZ à un autre système de coordonnées obliques OX'Y'Z', ayant la même origine. J’élève par le point O des perpendiculaires OT, OS et OR aux plans respectifs des .ry, des xz et des yz, et dirigées, par rapport à ces plans, du même côté que les axes des z, des y et des x positives. On pourra regarder ces droites comme des données de la question , et déterminer en conséquence les positions des demi-axes positifs OX', O Y', OZ' par les trois angles que chacun d’eux fait avec ces perpendiculaires. Cela posé, soient x, y, z les anciennes coordonnées OQ, PQ et MP du point M, et :é, yJ, z' les nouvelles coordonnées OQ', PQ' et MP1 de ce point. Je projette les côtés du polygone OQPMP'Q'O sur OT, et, en vertu du lemme du n° 95, la projection de MP sur cette droite sera égale à la somme des projections des côtés MP', P'Q' et OQ', car les deux côtés OQ et QP étant situés dans un plan perpendiculaire à OT, leurs projections sur cette droite sont nullcs.

Donc

2 cos (T, 2)= a/ cos (T, j/)-|^/cos(T,^,)-(-2'cos(T,2'); et par analogie,

-/cos(S,?-)=.r'cos(S, .iy)-|-j)''cos (S,^J) -j-2'cos (S, 2'); arcos(R, x')=x' cos(R,^7)-|-/ cos (Rj^-j-i' cos (R, z")

La figure qui nous a conduits à ces formules suppose que les angles formés par chaque perpendiculaire avec les axes coordonnés sont aigus, et que les coordonnées du point M sont positives; mais, en reprenant les raisonnements du n° 96 , il sera facile de reconnaître que ces formules sont générales, pourvu qu’on ait égard aux signes des coordonnées et à ceux des cosinus qui y entrent. Ainsi, par exemple, si l’angle (.i1, T) était obtus , la projection de PM sur OT serait égale à la somme des projections de MP' et de PQ' diminuée de celle de Q'O, parce que le plan mené par Q' perpendiculairement à OT serait situé au-dessous de xy; mais aussi il faudrait multiplier oé par le cosinus du supplément de l’angle (T, c’est-à-dire par — cos(T, a/); de sorte cjue le premier terme de la valeur de z cos (T, z) serait encore y cos (T, si').

Les trois formules que nous venons d’obtenir sont trèsrarement employées à cause de leur complication.

1529. Si les axes primitifs sont rectangulaires, les trois perpendiculaires OT, OS et OR coïncideront avec ces axes, de sorte que les formules, pour passer <l'un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques, seront

x=ur'cos(.r',a-)-f-y cos(./, r)-|-z'cos(z,> x)—aj! -\-b/ -\-cz' \

jr=x' cos(j', r)-f / cos(/,.r)-fz' c°s(s',.r)=«V -f -b'/+éz' [ [2].

z=x'cos(.r', z)-| -/ cos (y, z)-j-i'cos(z'I z) —a"x'f-b"f-\-c'z !

Mais comme les axes primitifs sont rectangulaires, les angles que les nouveaux axes forment avec eux sont assujettis aux trois conditions suivantes (1508) :

, V-\-U'-{-Uh=\, â-\-d'-\-dn=\ [3],

de sorte que des neuf constantes qui entrent dans les formules [2], il n’y en a que six qui soient arbitraires.

1)50. Si les nouveaux axes sont aussi rectangulaires, on devra avoir

cos(.r,,y)=0, cosy, 20=0, c°s(/>~)=0,

et par conséquent, en vertu de la formule [9] du n° 509,

ab+dU+d'U'^-O, ac-\-dd-\- d'd'=0, bc-flld- \-d'd'=0 [4].

Il faudra donc employer encore les formules [2] pour passer d'un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de coordonnées rectangulaires ; mais il faudra y joindre les équations de condition [3] et [4], de sorte qu’il n’y aura plus que trois constantes dont on puisse disposer arbitrairement.

551 . Si on veut revenir des nouveaux axes rectangulaires aux anciens, il faudra résoudre les équations [2] par rapport à j£, jJ et £ ; ce qui sera très-facile, car pour obtenir .z , par exemple, il suffira de multiplier ces équations respectivement par «, d, a!1, et d’additionner les équations-produits, puisqu’en vertu des équations [3 J le coefficient de .£ se réduira à l’unité, et que ceux de y et de £ deviendront nuis à cause des équations [4]. On calculera de même y et£ , et on trouvera

sé—axy=bx- £ =cx-

- dy-X-d'z )

î%ti

en y joignant les six conditions [3] et [4].

552. Mais si l’on observe que«, b , csont les cosinus des angles que l’axe des x fait avec les axes respectifs des xJ, des jd et des £, on devra encore avoir c£-\-lr-fd=\ ; donc aussi d'-X.U'Jrdi=\ et . D’un autre côté, les

angles (jr, y), ( x , z ) et (y, £) sont droits; donc leurs cosinus sont nuis, ainsi on a encore (509) entre les neuf constantes a, b, c , d, U , d, d', U', d', les six équations

■c* =1) -dt = \ -<?'= 1 )

ad ad' -

dd'-

■bU - -b/1' ■ -1111'-

-cd =0 \

-cd' =0 ; [71.

-dd'= o)

* Ainsi il semblerait que l’on a douze équations entre ces constantes, de sorte qu’elles seraient plus que déterminées. Or, je dis que les équations [6] et [7] sont des conséquences né-

cessniresde [3] et de [41. En effet, si on carre les équations [5] et qu’on les ajoute, on trouvera

J*-|— r*-f- «’ a"- r*-f- a”1 j*-|- an' 2.rr -j- an" 2.r;-(- a' a" tj~z ,

-f 4* -j-A’' + 4"* -f W ' -j -bW + b‘h"

-(- r* c'1 -{- c** -j- ré -(- ce" - - cr“

car jét-^-yJ'-\-£*:=3£-\-yi-\-£, puisque les deux systèmes sont rectangulaires, ce qui est exprimé par les équations [3] et [4]. Or cette équation est vraie, quelles que soient les valeurs de x, de y et de z; donc les coefficients qu’ont ces variables sont identiques; donc on en déduit [6] et [7J.

Remarquons que cette démonstration n’exige même pas que a, b, c, d, etc., soient des cosinus, parce que si les équations [3] et [4] sont supposées vraies, en faisant la somme des carrés des équations [2] que l’on peut toujours poser, en y regardant x , y, z, xJ, j , z ’ comme des variables auxdiaires, on en tire et c’est la vérité de

cette équation qui sert de base à notre démonstration.

553. Pour obtenir des formules propres à passer d’un système de coordonnées obliques à un système de coordonnées rectangulaires, il n’y aurait qu’à tirer des formules [2] les valeurs de x1, jJ, £ en fonction de ,r, y , s; mais ces formules seraient très-compliquées, et il est bien rare qu’on soit obligé d’y avoir recours.

554. Si l’on doit changer à la fois l’origine et la direction des axes, il n’y aura qu’à ajouter aux seconds membres des équations [ I ] ou [2] les coordonnées respectives a, p et y de la nouvelle origine, en n’oubliant pas les équations de condition qui doivent les accompagner.

555. Il ne nous reste plus qu’à chercher les formules necessaires pour rapporter à deux axes rectangulaires tracés dans son plan la courbe qui résulte de /’ intersection dune surface par un plan.

Nous fixerons la position de ce plan en nous donnant un de ses points (a, (â, y), celui que l’on prendra pour origine des nouveaux axes (a, b , c), l’angle <p que sa trace sur .refait avec l’axe des x , et son inclinaison 0 sur le plan xy . Mais, pour plus de simplicité, nous supposerons d’abord que le plan sécant passe par l’origine. Cela posé, prenons sa trace OX' sur xy pour l’axe des abscisses, et pour axe des ordon- fjg. jgg

nées une perpendiculaire OY' tirée par l’origine sur OX' et au-dessus du plan xy. Soient M un point quelconque du plan sécant, x,y, z ses trois coordonnées OQ, PQ et MP. J’abaisse du point P la droite PQ' perpendiculairement sur OX', et je joins MQf; cette droite sera perpendiculaire sur OX', de sorte que OQ' et MQ' seront les deux nouvelles coordonnées x1 et y du point M, et que l’angle MQ'P mesurera l’inclinaison 0 du plan sécant surxy. Nous tirerons d’abord du triangle rectangle MPQ'.

2=j/sin0, PQ' ■=.y=j5 cos 0 .

Puis, en regardant le point P comme rapporté tour à tour aux systèmes de coordonnées rectangulaires XOY et X'OYv, on aura, d’après les formules qui servent à passer, sur un plan , d’un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de coordonnées rectangulaires (99),

x = x' cos sin o cos <?-\~y sin o cos 0 ,

y=.a? sm ç — ^r,,coso=a/sin <p — j/cosç cosO

(observez que si les nouvelles ordonnées positives étaient comptées dans le sens du prolongement de Y"0, il aurait suffi de faire a = <p dans les formules du n° 99, mais que comme elles le sont sur OY", on a dû faire en outrc^= — JJ,)î donc enfin

.r=«-|-.r,cos!p-(-^sin(p cos0) iy=p-j-.ï,sin<p — -^coscpcosG j [8].

s =.-y — f— sin 6 ;

Ainsi, en substituant ces valeurs de x, y, z dans l’équation d’une surface, l’équation résultante sera celle de la courbe d’intersection rapportée à des axes rectangulaires tracés dans son plan.

Si le plan sécant était donné par son équation, il faudrait commencer par calculer les angles <j> et 0, ce qui serait facile ; car, si

Ax-J-Bj^-Cz-j-D = 0

est l’équation du plan, en faisant 2=0, on aura pour celle de sa trace sur xy,

Aar-j-B/-J-D = 0, d’où tang<p= —

et, par les formules du n" 525,

cos 0 = ---- - ^ .

V/ A *— j— fi* — j— O*

<>56. Si le plan sécant était perpendiculaire au plan xj -, l’angle 0 serait droit, et les formules [8] deviendraient en conséquence

x=a-j-x'cos<p, jy= {— j/ sin <p , z=-y-^~y [9].

537. Il suit des formules [8] que l’intersection d’une surface par un plan est au plus d’un degré marqué par celui de la surface. C’est au reste ce que l’on pourrait conclure immédiatement des formules [ 1 ] ou [2]; car si l’on prend le plan sécant pour l’un des plans coordonnés, pour celui des xy, par exemple, il suffira, pour avoir l’équation de l’intersection de cette surface par ce plan, de faire z=0 dans son équation rapportée aux nouveaux axes, et cette équation est toujours du même degré que l’équation proposée (102).

558. On peut, à l’aide des formules [8], reconnaître si une courbe donnée par ses canotions it(x, z)=0 etty( y, z)=0 est plane. En effet, si l’on désigne par <p l’angle que fait avec l’axe des x la trace d’un plan sur xy, par -y l’ordonnée du point où il coupe l’axe desz, et paré l’inclinaison de ce plan sur xj-, il n’y aura qu’à substituer les formules

j:=x,cosip-(->-,sinç cos0, >y-=.z-,sin(p — ^cosçcosO, *=7+/sin0>

dans les équations iz(x, z)= 0 et <| i(x, z)=0, et on aura deux équations 1T1(.^,, ;J) = 0 et ./O— 0 qui représenteront les intersections de ces deux surfaces par le plan que déterminent les quantités <p, 0 et -y; or si la courbe dont i^x, e)=0 et s)=0 sont les équations de plans, on pourra prendre son plan pour celui des .éjJ, de sorte qu’on devra pouvoir identifier ces deux équations tz,(z',jj) = 0 et Jj) — 0 par des valeurs réelles de ces trois quantités. Si donc l’identification est impossible, on devra conclure que la courbe n’est point plane.

839. Les formules [2], qui servent à passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de coordonnées rectangulaires, semblent fort simples; mais cette simplicité n’est qu’apparente, car elles doivent toujours être

Fig. 187

accompagnées des six équations de condition [31 et [4], à moins que l’on ne veuille tirer de ces équations es valeurs

de six des neuf quantités a, b, c, a', qu elles renferment,

en fonction des trois autres, et substituer ces valeurs dans les équations [2], ce qui rendrait ces dernières formules tout à fait inapplicables, à cause de leur complication. Ces considérations ont engagé Euler à chercher à exprimer les neuf constantes a, b, c , d ... en fonction de trois angles, dont la connaissance suffit pour fixer la position du nouveau système par rapport à l'ancien. Ces angles sont ceux tp et <p que la trace OX" du plan xiy' sur xy fait avec les axes des x et des x! et l'inclinaison 0 du plan x!y{ sur xy. Ces angles étant connus, on tirera par le point O une droite OX" qui fasse avec OX l’angle ip; on mènera par cette droite un plan qui, dirigé au-dessous de xy, fasse avec lui l’angle 8 ; on tracera dans ce plan deux droites OX' et OY' qui soient inclinées de <p et de (00°-|-<p) sur OX!', et enfin on élèvera à ce même plan et dans le sens OZ une perpendiculaire OZ'. Voyons donc comment on pourra exprimer les anciennes coordonnées {x, y, z) d’un point quelconque en fonction des nouvelles coordonnées (x1, y3, d) de ce point et des trois angles <}/, <p et 6. Soient OY* et O Y'" les traces respectives des plans xy et xi y3 sur le plan ZOZ\ Nous aurons ainsi deux systèmes de coordonnées rectangulaires

XOY et. X"OY" dans le plan xy,

X'OY' et X"OY'" .r

ZOY" et Z'OY'" zd)

car OX* étant perpendiculaire au plan ZOZ', l’est par conséquent à toutes les droites tirées par le point O dans ce plan. On pourra donc supposer que l’on passe successivement du système XOY au système X"OY", de X"OY'" à X'OY', et

enfin de ZOY" à Z'OY'"au moyen des formules

on effectuera ces transformations

x" cosi — jr"sin ij/

xi' sin <|/ -j- )’"cosi{/

xi cosç — ^sinp

^•"'cosÔ-j-z' sin 6

— y'" sin 8 -j- z* cos 9

Ces formules s’obtiennent en faisant a = <j/ , a = <p et a=300<’ — 6, dans les formules du n° 99. En substituant la valeur de y'" dans celles de y" et de z , puis celles de sé' et de y1' dans les valeurs de x et de^-, on trouvera les formules suivantes auxc|uelles Euler est parvenu, mais plus longuement que nous ne venons de le faire, à l’aide du principe fondamental de la Trigonométrie sphérique ( Trigonométrie, 82) :

x= j/(cosç cos<J; — sinip sin<[/cos0) \

— ^(sinip cos^-j-cosipsin^cosO) 1

— .z'sinijisiiiô; I

y= ^/(cosip sini|/-J-sin<pcosi|/cos0) > [10].

— ^'(sin <p sin i]/ — cos ç cos cos 9) l

cos^sinO;

z— — a/sinçsinO — y3 cosçsinO-j-z'eosO/

540. Si on veut passer et un système de coordonnées rectangulaires au système de coordonnées polaires (jue nous avons fait connaître au n° 486, on considérera que les triangles rectangles MOP et POA donnent

z=pcos9, OP=psinô, a:=OPcosw, ^=OPsinw,

et, par suite, en déplaçant l’origine,

a;=a-{-psin9cos<ü, j-=(3-|-psinÛsinw, s=>y-|-pcos9.