DES SURFACES

sera vérifiée par tous les systèmes de valeurs de x, y, z, qui , conjointement avec certains couples de valeurs de a et de (ï, peuvent satisfaire aux équations [2] et [31, c’est-à-dire qu’elle le sera par les coordonnées de tous les points de la génératrice dans toutes les positions qu’elle peut prendre; ce sera donc l’expression de la relation constante qui existe entre les coordonnées d’un point quelconque de la génératrice dans les différentes positions qu’elle peut occuper; donc ce sera l’équation de la surface cylindrique engendrée par cette droite.

Exemple. Quelle est l'équation de la surface cylindrique dont la trace sur xy a pour équation sur ce plan y* — x' — 1 =0, et .dont l'axe a pour équations x = z et y=' — z ?

Les équations [I] et [2] deviennent respectivement

On trouvera alors que l’équation [3] est (J* «*+1=0, de sorte que la surface cylindrique a pour équation (/+-)— (-r— z)*+1=0, ou jW-|-2*H-2^-H=0.

342: Il est important de remarquer que l’équation [3] pouvant toujours être regardée, quelle que soit la forme de la fonction F, comme provenant de l’élimination de .r, y , z entre les équations [2] et celles d’une certaine courbe, on peut regarder cette fonction comme tout à fait arbitraire , de sorte que toute équation composée, comme on voudra, des binômes ( x — mz) et ( >• — nz) représentera toujours une surface cylindrique. L’équation [4] est donc le type d’une pareille surface.

On suppose ordinairement l’équation [4] résolue par rapport à (y — nz ), et elle prend ainsi la forme

y — nz=f(x — mz) [5].

343. '’On déduit de ces remarques le moyen de reconnaitresi une surface dont on dorme f équation ir(x, y. z)=0 est cylindrique ou non. Si l’on pose , en effet, x — rnz=u et

x — nz=t’, cette équation deviendra tfu-\-mz, v-j-nz, z)=0y et l’équation [4] se réduira en même temps à F(u, c) = {J ; si donc la surface que l’on considère est cylindrique , auquel cas l’équation [4] doit pouvoir s’identifier avec la sienne, il faut et il suffit que l’on puisse assigner à m et à n des valeurs telles que la fonction r:(u-\-mz, vf-nz, z) devienne indépendante de z, et cela quelles que soient les valeurs de u et de v. Ou égalera donc à zéro les coefficients des diverses puissances de 2: et si l’on peut vérifier ces équations par un couple de valeurs réelles de m et de «, on en conclura que la surface est cylindrique, sinon elle ne le sera pas.

Exemple. Ixi surface y5 — x’-j-2zx-J-2zy-|- 1 =0 est-elle cylindrique? On trouver?

(e* — u’-{-1)-(-2[(1 — rn)u-\-(\-\-n)d\z

par suite

1 — m — 0, — 0, n* — rn'-ç-'lm -j- 2n = 0,

équations qui sont vérifiées par nv=\ et n = — ■! . La surface proposée est donc une surface cylindrique dont les géné-

ratrices sont parallèles à la droite^ et dont la trace

sur a^'cst l’hyperbole équilatèrejE* — {— 1 = 0, ce qui s’accorde avec l’exemple du n° 1541 .

1544. Surfaces coniques. Ces surfaces sont engeridrees pur une droite (fui glisse sur une directrice donnée en tournant autour d'un point fixe.

Soient («, It , c) les coordonnées de ce point, les équations de la génératrice seront

x — a = fz — c), y — b — $(z — c) [6];

de sorte que, si

sont les équations de la directrice, on formera l’équation de condition qui exprimera que la génératrice glisse sur cette courbe en éliminant .r, y, z entre les équations [1] et £6]. Désignons cette équation par

F(«,fi)=0 • [3],