DES SURFACE

et nous verrons, en raisonnant comme au n° 34 1 , que l'élimination de x et île p entre les équations [1] et [3j fournira l’équation demandée, qui sera ainsi

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ou, ce. qui revient au même,

Si on regarde la caractéristique f comme indiquant une fonction arbitraire, l’équation [8] sera le type des surfaces coniques.

343. Si l’on suppose que le centre de la surface conique soit placé à l’origine des coordonnées, a, b , c seront nuis, et l’équation [8] se réduira à

Ainsi l'équation de toute surface conique est homogène, quand l’origine des coordonnées est placée au centre de cette surface.

La réciproque est vraie, car si l’on coupe une surface dont l’équation est une fonction homogène des trois variables x,y, z par un plan

z = ax -j- b y

mené par l’origine des coordonnées, l’équation de la projection de l’intersection sur le plan des xjr, par exemple, sera une équation homogène en x et en y, et représentera par conséquent un système de lignes droites (57); de sorte que tout plan mené par l’origine coupera la surface suivant un système de lignes droites; donc cette surface est conique.

Cette conséquence résulte encore de la méthode donnée au

n° 543, car si l’on fait - = u et ^ = c dans l’équation homogène, elle deviendra indépendante de z.

346. 11 suit de là que, pour reconnaître si une surface dont l’équation esff donnée appartient à la famille des surfaces coniques, il n’y aura qu’à déplacer l’origine, et à égaler à zéro les coefficients de tous les termes dont le degré sera inférieur à celui de l’équation transformée, ce qui la rendra

homogène. Si on peut tirer des équations de condition des valeurs réelles et finies pour a, (3, 'v’(i>27), on en conclura que la surface est conique, sinon elle ne le sera pas.

Fig. iss . Surfaces de révolution. Une pareille surface est

e/igcr/dree par le mouvement d'une courbe quelconque CD qui tourne autour d’un axe Jixe AB. Il suit de cette définition que toute section faite dans une surface de révolution par un plan perpendiculaire à l’axe est une circonférence de cercle dont le centre est au point où ce plan coupe cet axe. D’après cela, on pourra regarder toute surface comme engendrée par la circonférence MM' d’un cercle dont le centre O décrit une droite donnée AB , tandis que son plan reste perpendiculaire à cet axe , et que sa circonférence glisse sur une courbe fuie CD. C’est en considérant les surfaces de révolution sous ce dernier point de vue que l’on forme leurs équations.

Soient donc

les équations de la directrice fixe CD, et (a , b , c) les coordonnées d’un point quelconque de l’axe AB : ses équations seront

x — a—m(z — c), jr — b=n(z — c),

m et n étant deux constantes connues. Nous déterminerons la circonférence génératrice, en la considérant comme l’intersection d’une sphère décrite du point (a, b, c) comme centre, par un plan perpendiculaire à AB, de sorte que ses équations seront de la forme

(x—a)'-{-(j-—by-\-(z—cy=zcé, mx-\-nj-\-z=$ [10].

On exprimera que cette circonférence glisse sur la courbe CD en éliminant x, y, z entre les équations [1] et [10] , ce qui conduira à une équation de condition de la forme

de sorte que l’on obtiendra l’équation d^la surface de révolution en éliminant a* et (ï entre cette équation et les équations [10]. On trouvera de cette manière

F[(x„)'+0-«)'+(î C)-> y+S] = U [II],