DES SURFACES

ou, ce qui revient au même,

mx + ny-\- s =/[(.r — «)*+ (7 — 6)*+ (a — c)‘] [12].

Tel est donc le type des surfaces de révolution , si l’on regarde/* comme la caractéristique d’une fonction arbitraire.

o48. Si l’on suppose que l’axe de révolution soit précisément l’axe des - , on pourra prendre l’origine pour le centre de la sphère, et l’équation [12] se réduira ainsi à

ou bien à s =f(x*-\-f),

* en la résolvant par rapport à z. Au reste, on serait arrivé immédiatement à cette équation , si on avait regardé la circonférence mobile comme provenant de l’intersection d’un cylindre circulaire droit par un plan perpendiculaire à l’axe des z, de sorte que les équations [10] eussent été remplacées par les suivantes :

•r’+y=*'> z — li [13].

Exemple. Trouver l'équation de la surface engendrée par une droite mobile tournant autour d’une droite fixe à laquelle elle est invariablement attachée.

Je prendrai l’axe de révolution pour axe des - , et je dirigerai l’axe des x suivant la perpendiculaire aux deux droites données. De cette manière, la seconde droite mobile, qui va servir de directrice à la circonférence mobile, sera parallèle au plan des 27; de sorte que, si 011 appelle a cette perpendiculaire, les équations de cette directrice seront

x=a, j—nz ;

les équations de la circonférence mobile seront les équations [1 3] , et on en tirera facilement l’équation de condition

et par suite x3-\~f — n'z*=al.

Telle est l’équation du lieu. Si on y fait 7=0, elle se réduit à x*' — réz'—a1,

équation d’une hyperbole dont l’axe transverse, dirigé suivant celui des x, a pour longueur 2 a. Ainsi, notre surface

peut être regardée comme engendrée par le mouvement de celte hyperbole qui tourne autour de son axe non transverse.

349. Surfaces conoîdes. On appelle ainsi line surface engendrée par une ligne droite assujettie il rester parallèle à un plan donné, en glissant sur une droite et sur une courbe Jixes. Supposons, pour plus de simplicité, que l’on ait pris la droite fixe pour axe des z et le plan directeur pour plan des xj. De cette manière, les équations de la génératrice seront de la forme

Z— Cl, J=$X.

Soient q(x,y,z) — 0, tyÇx,j,z)= 0 [1]

les équations de la seconde directrice, on obtiendra l’équation de condition

qui exprime que la génératrice s’appuie sur cette courbe, en éliminant x, y, z entre ces quatre équations, et on en déduira

F(r-’x)=° OU Z=f($) tU]’

Telle est l’équation de la surface demandée.

11 est bon de remarquer que cette équation est homogène relativement aux deux variables x et y.

Exemple. Les deux directrices sont des lignes droites.

Cr m

On prendra toujours le plan directeur pour celui des xy; on dirigera l’axe des x par les traces des deux directrices sur ce plan; on prendra pour plan des zy un plan mené à égales distances de ces traces parallèlement à ces deux droites, et on dirigera l’axe des z de manière qu’il fasse des angles égaux avec les directrices, et on trouvera pour l’équation du conoîde

axz — by.

330. Applications. I. Trouver l'équation de la surface engendrée par une droite mobile qui s’appuie constarnment sur trois droites fixes non parallèles à un plan unique et dont deux quelconques ne se trouvent pas dans un même plan.

II. Trouver l’équation de la surface engendrée par une ligne droite assujettie à couper en parties proportionnelles

DES SBBFACES.

deux côtes opposes d’un quadrilatère gauche. — Si on faisait mouvoir une ligne droite de la meme manière sur les deux autres côtes opposes du quadrilatère , obtiendrait-on une surface differente?

III. Trouver t équation de la surface etigendréc par une parabole tournant autour de son axe, et déterminer la position que cet axe doit avoir pour que , si ton projette sur un plan donné t intersection de la surface par tout plan qui ne sera pas perpendiculaire à celui-ci , la projection soit un cercle.

IV. Trouver la surface engendrée par t arête et un angle dièdre droit dont tes deux faces sont assujetties à passer constamment par deux droites données.

V. Démontrer qu’un plan quelconque perpendiculaire il un rayon donné d’une sphère coupe suivant un cercle tout cône qui a pour sommet t extrémité de ce ra yun et pour base un petit cercle de la sphère.