CHAPITRE V
§ I. Triangles rectangles.
66. 1" Cas. Résoudre un triangle rectangle dans lequel Fig. fj. on connaît t hypoténuse a et un angle aigu B.
Les inconnues de la question sont l’angle C et les deux côtés de l’angle droit b et c.
Comme les formules que nous avons établies pour la résolution des triangles l’ont été' en supposant que le rayon des tables trigonométriques fût l’unité , tandis que les tables usuelles ont été construites dans une tout autre hypothèse, il faudra, avant d’employer ces formules, y remplacer chaque ligne trigonométrique par son rapport au rayon (27), que nous représenterons par R. Nous supposerons donc désormais que cette substitution y ait été faite. De plus, il faudra toujours préparer les formules de manière qu’on puisse y appliquer les logarithmes (64).
Cela posé, revenons à la question proposée. Nous aurons d’abord la valeur de l’angle inconnu C, en prenant le complément de l’angle B. Ensuite, on déterminera les deux côtés b et c en employant la formule qui renferme l’hypoténuse, un angle et un côté de l’angle droit (67). Donc
, sinB cosB
b=a—, et c—a-^-i
d’où l’on tire
logô=Ioga-{-logsinB — logR, et logc=loga-(-logcosB — logR,
et il sera facile d’obtenir ainsi les valeurs de b et de c. Pour les vérifier, on pourra calculer de nouveau le côté c par le théorème de Pythagore, au moyen de la formule
c=\'a5— T'=\]{ci-\-b\a — b) , d’où lOgc=l°6(o+é>+l0g("-/,),
67. 2° Cas. Étant donnés l'hypoténuse a et un côté b, calculer le troisième côté c, et les deux angles B et C.
Ou calculera le troisième côté c, par le théorème de Pjrthagore, au moyen de la formule
log(a-fé)-fl°e(a— <>)
Ensuite pour obtenir l’angle B, par exemple, on fera usage de la relation qui a lieu entre l’hypoténuse, un angle et un côté (15 7), ce qui donnera
4=a^^, d’où logsinB=log4-{-logR — loga.
On cherchera dans les tables la valeur trouvée pour logsinB, et à côté on lira celle de l’angle B. Il n’y aura qu à retrancher cet angle de 90", pour connaître l’angle C.
Si I on veut vérifier les résultats que l’on aura trouvés, on pourra calculer l’angle C en fonction dec par' la formule
c=a^^-‘, d’où logsinC=logc-j-logR — loga, *
et si la nouvelle valeur de C s’accorde avec la première, on en conclura non-seulement que cette première valeur de C est exacte, mais que celle dec l’est aussi.
68. 3' Cas. Résoudre un triangle rectangle dans lequel on eonnnit un côté h de l’angle droit et un angle B.
11 s’agit de trouver l’angle C, l’hypoténuse a et le côté c. On aura immédiatement l’angle C en prenant le complément de B; on obtiendra ensuite l’hypoténuse a et le côté e, en faisant usage 1” de la relation qui existe entre l’hypoténuse, un côté et un angle (87); 2° de celle qui lie les deux côtés de l’angle droit avec un angle (159). Donc
b=a , d’où Ioga=logô-f-logR — logsinB,^
£=c-~~ , d’où logc=logô-|-logR — logtangB.
Si l’on veut vérifier les valeurs trouvées pour « et c, on pourra s’en servir pour calculer de nouveau l’angle C (67) à l’aide de l’équation
logsinC=logc-f-logR — loga.
69. 4e Cas. Connaissant les deux côtés de l'angle droit , trouver f hypoténuse a et les angles B et C.
log
On calculera l’angle B par le théorème du n° 59, c'est-àdire par la formule
^=ctan”B, d’où logtangB=log^-j-logR — loge.
L’angle B étant connu , on aura C par l’équation C=90° — B, et enfin l’hypoténuse a par le théorème du n° 57, qui nous donnera
d’où log<z=logi-j-logR — logsinB.
On vérifiera les valeurs trouvées en calculant c à l’aide du théorème de Pjthagore (66).
§ II. Trangle* obliquangle*.
70. 1" Cas. Résoudre un triangle connaissant un côté et deux angles.
* On aura immédiatement le troisième angle, en prenant le supplément de la somme des deux angles connus. Ensuite on déterminera un des côtés inconnus au moyen de la relation qui existe entre deux côtés et les angles opposés, c’est-à-dire à l’aide du théorème du n° 61 . Si donc c est le côté connu, on posera les équations
csinA=asinC, d’où logrt=loge-|-logsinA — logsinCj
csinB=^sinC, d’où logô=logc-j-log$inB — logsinC;
71. 2e Cas. Étant donnés deux côtés a et b et l’angle A opposé au premier, calculer le troisième côté c et tes deux angles B et C.
Si l’on veut calculer l’angle B, il faudra employer une formule qui renferme les données rt, b, A et l’inconnue B. On aura donc recours au théorème du n° 61 , et on posera, en conséquence, l’équation
«sinB=ésinA, d’où logsinB=logô-{-logsinA — log«. Mais il se présente ici une difficulté qui ne s’était pas encore rencontrée, c’est que l’angle B, étant donné par son sinus, est susceptible en général de deux valeurs, puisque les sinus de deux angles supplémentaires sont égaux. Faut-il donc prendre la valeur moindre que 90° indiquée par la table de sinus, ou bien son supplément ?
Si l’angle A est droit ou obtus, il est clair que. l’angle B
est aigu , et qu’en conséquence il n’y a aucune incertitude. Supposons donc que l’angle A soit plus petit que 90°: trois cas pourront se présenter, suivant qu’on aura «)>ô, a=b , et a<^b. %
Dans les deux premiers, l’angle B est aigu, puisqu’il doit être plus petit que A ou égal à A, d’après des théorèmes de géométrie élémentaire. Mais si a<^b, l'angle A < B, et cette condition est également satisfaite, en prenant, pour valeur de l’angle B, l’angle aigu donné par les tables de sinus ou son supplément , attendu que le calcul déterminera pour B une valeur supérieure à celle de A. En effet, l’équation ôsinA=«sinB prouve que a étant <C.b, sin A sera <^sin B; et comme de deux angles aigus celui qui a le plus grand sinus est le plus grand (13), il s’ensuit que B)>A. Le problème aura donc deux solutions dans le cas où l’angle A étant aigu, on aura a<^h.
Observons toutefois que pour que ce problème soit possible, il faut, en supposant le rayon égal à l’unité, que l’équation ôsinA=rtsinB, donne pour siuB une valeur moindre que l’unité (13), ce qui exige que 6 sin A soit plus petit que a; et en effet b sin A est la mesure de la perpendiculaire CI Fig. il. abaissée de l’extrémité C du côté AC —b sur le côté AB (37); or, il est évident que si le côté a était moindre que cette perpendiculaire, le triangle ABC ne saurait exister.
Toute cette discussion est parfaitement d’accord avec celle à laquelle conduit la construction géométrique d’un triangle dans lequel on connaît b, a et A ( Géom 210).
L’angle B étant connu, on déterminera l’angle C par l’équation C=1 80° — (A-j-B), et on obtiendra ensuite le côté c par l’équation
esin A=asinC.
72. Si on veut calculer directement le côté cen fonction des données, on devra employer une formule qui contienne à la fois les trois côtés et l’angle A; ainsi on fera usage du théorème fondamental (33) :
2&ccosA=Zl!-|-c, — d’où c* — 2icosA.c-J-ô* — a’= 0. On tire de cette équation
c=^cosAdbv/a’ — Z»*sin’A.
Cette formule n’étant pas calculable par logarithmes , il faut
la transformer en une autre qui le soit. Pour cela, conformément à la règle du n° 64, je metsrr en facteur commun sous
le radical, ce qui donne «’^l — — et comme ne surpasse pas l’unité, sans quoi la valeur de c serait imaginaire, et il n’y aurait pas lieu de la calculer, je pose^^=sin<p; de cette manière la valeur de c se réduit à
c=icosA±acosç,
quantité binôme, et par conséquent réductible à un monôme (64). Pour l’y ramener par la voie la plus simple, je
remplace b par sa valeur tirée de l’équation de condition , et je trouve
a (sin ® cos A ± sin A cos ®)
sin A
d’où , en ayant égard aux formules [1 3] et [1 5] ,
c asin(ip±:A)
. sin A
Ainsi l’on calculera d’abord l’angle 9 par la formule
b sinA
smo= ,
puis on substituera la valeur que la table de sinus donnera pour 9 dans la dernière expression de c , et on obtiendra facilement cette inconnue.
Remarquons, au surplus, que cette solution rentre dans la première(71); en effet, en vertu de l’équation qui le détermine, l'angle aigu 9 est égal à l’angle B ou supplémentaire de cet angle, puisque leurs sinus sont égaux : par conséquent,
sin(9±A)=sin(B'zfcA) ou=sin(1 80° — B'±A)=sin(B'qr A), en désignant par Br la valeur tabulaire de l’angle B, de sorte que e ="sin ~ ^ • Mais le calcul indiqué au n° 71 donne
sinC=sin(1 8B° — B' — A)=sin (B'-|-A)
ou sinC=sin (1 80° — l80'-f-B' — A)=sin(B' — A) ;
