i » 1. asinC asin(B'dkA
donc d en resuite c——. — -= - — .
sin A sut A
La formule c— "sin^?~t~A) donnera lieu à une discussion sin A
analogue à celle que nous avons faite sur l’angle B , et c’est
un exercice qu’il sera bon de ne pas négliger. On pourra
a i 1 1 ’ . • 4 sin A «
meme observer que 1 équation smç= — - — donne, pour
l’angle <p, une infinité de valeurs comprises dans les formules <p = — j— ot et 9=(2/i-|-1)t:— -a, en appelant a le plus petit
des angles qui ont V pour sinus (14); mais on ramènera
immédiatement la discussion au cas où <p = a.
73. 3’ Cas. Résoudre un triangle connaissant deux côtes a , b et [angle compris C.
Il s’agit de trouver les angles A et B et le troisième côté c. Deux méthodes se présentent , comme dans le problème précédent, pour déterminer ces inconnues, et nous allons les exposer successivement.
1rc Méthode. L’angle C étant donné, on aura immédiate-
tement la demi-somme des deux autres, en retranchant -
de 90°; quant à leur demi-différence , il sera facile de la calculer au moyen du théorème du n° 62 ; ainsi , en supposant que a soit plus grand que b , on posera l’équation
tang
tang-
d’où
log tang = !°g tang + !°g («-—*) — log(«+*)-
On cherchera dans les tables trigonométriques la valeur trouvée pour le logarithme de tang — - — , et on lira à côté celle de l’angle A Il n’y aura donc qu’à combiner successivement par addition et par soustraction les valeurs de — et deAd — ,
et on aura celles des angles A et B.
Ces angles étant connus , on calculera le côté c par le théorème du n° 61
c sin A =asin C*.
* Pour obtenir la valeur de c , à l’aide de cette formule , on a trois
74. 2e Méthode. Nous allons calculer directement le côté c par l’équation
2aôcosC=«,-|-ôi — c’, d'où c‘=a,-\-tf — 2«ôcosC.
Le second membre n’étant pas calculable par logarithmes , nous le réduirons à un binôme. Il suffira, pour cela, de rem-
placer cos C par sa valeur donnée en fonction de cos - ,
ou desin- par les formules [21] et [22] : par exemple, par
(2 cos* 5-— • !), car il viendra ainsi
t*= (a -(- ù'f — 4 ub cos’
En appliquant à cette formule la méthode du n“ 64, on trouvera
o c 2cos-
sin?=-^jr puis t—
nouveaux logarithmes à chercher : or, on peut , en calculant c d’une autre manière, n’avoir besoin que de deux nouveaux logarithmes. En effet , de la suite
a : sin A :: b ; sinB ” c ; sinC,
on tire
a — b : sinA — sinB :: c ; sinC,
d’où
( a — b ) sin C sin A — sin B
Or , sin A — sin B
„ . A— B A-fB 2 sin — — cos — —
„ . A— B . C 2 sin— - — sin-, et
sin C= 2 sin - cos - : doue Z Z
(« — b) cos
et le logarithme de (n — b) est connu.
* On a le droit de poser cette équation ; car le triangle dans lequel on connaît deux côtés et l’augle compris étant toujours possible , il faut que l'équation précédente donne pour c une valeur réelle, ce qui exige \cib C
que l’on ait -.-^cos*- 1 . Au reste, si l’on ajoute Kab aux deux
\a~Tb) 2
membres de l'inégalité (« — ô)*> 0, il viendra (a-j-é)*> iab^> \nb cos! - .
équations desquelles on tire
log sin <p= + log 2+ log cos ^ — log («-J-A),
et logc=log(«-|-£)-|-logcos<j> — log R.
On commencera donc par calculer l’angle 9 par la première de ces deux formules, et, en substituant la valeur trouvée dans la seconde, on en déduira celle de c.
Il s’agit maintenant d’évaluer les angles A et B; mais, pour éviter l’ambiguïté qui se présente toujours lorsqu’un angle est déterminé par son sinus, à moins qu’on ne sache a priori que cet angle est aigu ou obtus , nous calculerons d’abord le plus petit des angles A et B. Ainsi, en supposant « > ô, nous poserons l’équation
c sin B=&sinC,
de laquelle on tirera log sin B , et on prendra pour B la valeur tabulaire correspondante, puisque cet angle B < 90°. On pourra obtenir l’angle A , en prenant le supplément de B-{-C; mais il vaudra mieux le calculer par la formule
esin A=nsinC,
ce qui peut sc faire sans ambiguïté, puisque la connaissance des angles B et C détermine la nature de A; et on aura une vérification de tous les calculs, en examinant si la somme des trois angles A, B et C vaut 180°.
7i». k" Cas. Résoudre un triangle dont on connaît les trois côtes.
Nous déterminerons l’angle A par le théorème fondamental (i$l>), et nous trouverons
cos A
ïü '
Ppur rendre cette formule calculable par logarithmes, je remarque que si j’ajoute une unité aux deux membres de cette équation , le second membre se réduira à un binôme ; car il
deviendra , et le premier qui deviendra le binôme 1-j-cosA se réduira immédiatement (55) au monôme
2cos*^. On trouvera donc ainsi
,A (Z»— ]—£')* — «’ (6-f-c-j-ff) (6-}-c — a)
COS 2 4 bc , 46c ’
puisque la différence des carrés de deux quantités est égale au produit de la somme de ces quantités par leur différence. Or, si l’on représente par 2 p le périmètre du triangle, c’est-àdire si l’on pose
b — J— c — j— ci = Q,p ,
ou en tirera
et par suite
, A p{p — a) ,, , A D / p(p — a) rK01
COS2=^— ’ d°U cOS2=RV^“ [53]>
en extrayant la racine carrée et restituant le rayon R. Je ne mets pas le double signe ztz devant le radical, parce que
ços^ est nécessairement positif. Cette formule nous apprend
que pour calculer le cosinus de la moitié d’un angle d’un triangle , il faut du demi-périmètre retrancher le côté opposé à cet angle, multiplier le reste par le demi-périmètre, diviser le résultat par le produit des côtés qui comprennent l’angle cherché , extraire la racine carrée du quotient et la multiplier par le rayon.
Pour que le triangle puisse être résolu, il faut 1° que cette
valeur de cos ^ soit réelle; 2° qu’elle soit moindre que R.
Nous allons exprimer successivement ces deux conditions. La
première exige que (p — a') = — — soit positif, c’est-à-
dire que l’on ait a<fb-\-c. Pour satisfaire à la seconde, il faut poser
pip—") ^ ,
bc
d’où l’on tire successivement
• (4-J-c-j-a) (6-f-c — -«)<4 bc, (b-\-cf — <4 bc,
(b—cf<at, ±{b—c)<a,
suivaut que b est > ou <e ( Alg ., 164). Ainsi , pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le coté opposé à
l’angle A soit plus petit que la somme des deux autres , et plus grand que leur différence. L’angle À étant connu, on calculera les deux autres par des formules analogues , et on ne devra pas
craindre de trouver pour cos ? et pour cos - des valeurs imaginaires ou plus grandes que le rayon R , puisque l’angle A ayant été calculé , 'on connaît dans le triangle demandé un angle et les deux côtés qui le comprennent , et qu’un pareil triangle est toujours possible.
Si au lieu d’ajouter une unité aux deux membres de léqua-
tion cosA = — ^ , on en eut retranche une unité, on se-
2 or 1 '
rait parvenu à la formule
à^R.y/EESjkES [54],
avec laquelle on pourrait encore calculer l’angle A.
Si on divise cette formule par celle qui donne cos-, on trouvera (21)
équation qui pourra servir aussi à trouver la valeur de l’angleA.
De ces trois formules , la première est celle qui donne le plus simplement l’angle A; mais, si l’on veut calculer les trois angles A, B, C, c’est de la dernière qu’il faudra faire usage; car elle n’exigera l’emploi que de quatre logarithmes , tandis que, avec la première, il faudra chercher les logarithmes des sept nombres a, b , c, (p — a), ( p — b), ( p — c) et p , et ceux ‘.des six premiers si l’on emploie la formule [54].
On fera bien de discuter les formules qui déterminent
sin ^ et tang^ , et, pour en faciliter la discussion, on fera une
hypothèse sur les grandeurs relatives des trois côtés; ainsi on supposera, par exemple, que a soit le plus grand.
7(>. 11 est quelquefois utile d’évaluer l’aire d’un triangle en fonction des éléments qui servent à le déterminer. Nous allons, en conséquence, chercher l’expression de cette aire dans les quatre cas où nous avons résolu le triangle ; mais ,
pour plus de simplicité , nous commencerons par le troisième cas.
i 0 On donne deux côtés b et c et F angle compris A.
Si du sommet C on abaisse la perpendiculaire CI sur la Fig. il . base, on aura évidemment (57) CI=Æ sinA; donc, en appelant S l’aire du triangle,
S=i^csinA [56];
ainsi , Faire d'un triangle est égale à la moitié du produit de deux côtés par le sinus de F angle compris.
Si l’on applique les logarithmes à cette formule, il viendra
logS=log£-|-logc-j-logsin A — • (logR-|-log2).
2° On donne le côté c et les deux angles A et B.
On a S=-4csinA ; mais(61) h.
csin B
csinB
sinC
c* sin A sin B
2 sin(A-pB)
sin(A-f-B,'
; donc
3° On connaît les côtés a et b et F angle A.
On a S:
abjmC g ttfcsm(^A-|-B), j’angje B étant déterminé par l’équation sinB = ^^ (61)-
4° Les trois côtés sont donnés. On a S =- bc sin A.
Mais si l’on multiplie le double de la valeur trouvée pour A A
sin ^ (75) par celle de cos ^ , on aura (52), en supposant le rayon égal à l’unité linéaire,
sin A «)(/'—*) 0—0 .
bc
donc
S = Mp—' a) (/*— 1 b) (/'— 1 p)-
77. Applications. I. Résoudre un triangle rectangle, connaissant son hypoténuse et le rapport des deux autres côtés. — Calculer son aire.
II. Résoudre un triangle rectangle connaissant son périmètre et le rapport de F hypoténuse à la somme des deux autres côtés. * .
III. Résoudre un triangle rectangle dont on connaît taire et le périmètre.
IV. Résoudre un triangle rectangle dans lequel on connaît l'hypoténuse et ta différence des deux autres côtés.
