CHAPITRE VII

82. Théorème. Dans tout triangle sphérique, le produit du cosinus d’un angle par les sinus des côtés qui le comprennent est égal au cosinus du côté opposé, diminué du produit des cosinus des deux autres côtés.

Soit ABC un triangle sphérique quelconque. Joignons ses Fig. 19. trois sommets au centre O de la sphère à laquelle il appartient, et menons aux côtés AB et AC les tangentes AD et AE terminées aux prolongements des rayons OB et OC. Si nous supposons que l’on prenne le rayon de la sphère pour unité, et que l’on désigne les angles du triangle ABC par A, B, C et les côtés qui leur sont respectivement opposés par a , h, c, on aura

AD=tangc==-^-, OD=sécc=— — ,

D cos c' cos c

AE=tangô=^-^, OE=sécô=— ^

D cos b 7 cos b

Cela posé, tirons DE, et en appliquant successivement aux deux triangles ADE et ODE le théorème fondamental de la trigonométrie rectiligne (55), il viendra

2 AD . AE cos A = AD’ -(- AE* — DE* ,

20D.OEcosfl=OD,4-OE’ — DE* ;

car l’angle DAE n’est autre que l’angle A du triangle sphérique, et le côté a est la mesure de l’angle DOE ( Géométrie, 586). Si on retranche ces deux équations membre à membre, et que l’on observe que OD' — AD' = ÜA2 = 1 , et que OE' — AE* = OA2 — \ , on trouvera

20D.OEcos« — 2AD.AEcos A=2.

En divisant tous les termes de cette équation par 2, remplaçant OD, OE, AD et AE par leurs valeurs, chassant les dénominateurs et transposant, il viendra enfin

sinô sine cosA=cos<i — cos b cos c [a],

formule qui est la traduction algébrique de notre théorème.

83. La construction qui nous y a conduits semble exiger que les côtés b et c soient chacun moindres qu’un quadran , de sorte qu’il est important de prouver que l’équation [a] est générale. Il suffira, pour cela, de considérer les quatre cas qui suivent.

Fig. 20. 1" Cas. 4 >90°, c<[900. Je prolonge CA et CB jusqu’à

leur rencontre en C, et je formerai ainsi un triangle ABC?, dont les deux côtés ACf et AB sont moindres qu’un quadran, de sorte qu’on aura

sin# sine cos BAC? = cos d — cos # cos c; mais #=180“ — bf a'=180° — a et BAC?=18Q° — A;

donc — sin b sine cos A=^= — cosfl-j-cosô cosc,

ou sin b sine cos A= cosrt — cosbcosc.

2” Cas. 4)>90° et c>909. On pourra (1 " cas) appliquer, comme tout à l’heure, le théorème au triangle ABC?, puisque l’un des côtés qui comprennent l’angle BAC? est <[ 90°, et par suite, il sera vrai pour le triangle proposé.

Fig. 2t. S' Cas. 0=90'’. Je prends sur l’arc AB, AAf=90° et je décris l’arc de grand cercle A'C. A est ainsi le pôle de cet arc ( Georn i»i»4 j qui en conséquence est la mesure de l’angle A. Si donc A'C est égal à 90°, le point C est le pôle de l’arc AA', de sorte que CB = a vaut aussi 90°. L’équation [ai est alors vraie, puisqu’elle est vérifiée en y faisant cos« = 0, cos b = 0 , cos A = cos A'C = 0 .

Supposons donc cpie CA' ne soit pas un quadran. Comme BA' n’en est pas un non plus , nous pourrons appliquer la formule [a] à l’angle A' du triangle A'BC, ce qui donnera

sin BA' sin A'C cos BA'C=cos BC — cos BA' cos A'C; mais cos BA'C = cos 90° = 0 , cos BC = cos a , cos BA'= cos j ± (90° — c) j = siu c et cosA'C = cosA: donc 0=cosa — sine cos A ou sine cos A = cos«;

mais c’est à cette égalité que se réduit la formule [a] , si on y fait £=90°; donc elle est encore vraie dans le cas actuel.

4° Cas. 6=90° et c = 9ü° : l’arc a est alors la mesure de l’angle A, et la formule [a] devient ainsi une identité.

8 4. Si l’on applique le théorème du n° 82 successivement aux trois angles du triangle ABC, on formera les trois équations

si n b sin c cos A = cos a — cos b cos c , )

sin ri sin c cos B = cos b — cosricosc, r [38],

sina sinôcosC=cosc — cos«cosô J

qui fournissent la solution complète du problème de la résolution des triangles sphériques; car elles suffiront toujours pour calculer trois des six éléments de tout triangle, quand on connaître les trois autres. Il s’agit donc de déduire des équations [58] des formules qui renferment toutes les combinaisons quatre à quatre essentiellement différentes que l’on peut faire avec les trois côtés et les trois angles d’un triangle (86) , de sorte que nous n’aurons à chercher que quatre classes de formules comprenant respectivement

Trois cotes et un angle ;

Deux côtés et les deux angles opposés ;

Deux côtés , l’angle compris et l’angle opposé à P un d’eux ;

Un côté et les trois angles.

Le théorème fondamental répond à la première combinaison.

80. Pour obtenir la seconde combinaison, c’est-à-dire une relation entre les côtés a et b, par exemple, et les angles opposés A et B, il n’y a qu’à éliminer c entre les deux premières des équations [58]. En conséquence, on combinera ces deux équations successivement par addition et par soustraction, ce qui donnera

si n c (si n ô cos A si n n cos B) =(cos a cos b) (I — cos c) ,

si n c (sin b cos A — sin a cos B)=(cos a — cos ô)(1-(-cqs c) ;

puis, en multipliant ces deux équations membre à membre et observant que (l-j-cosc)(1 — cosc)=sin*c, on trouvera, en divisant par sin’c ,

sin.1 h cos2 A — sin ‘a cos3 B = cos *a — 'cos 3ôL d’où en transposant

sin’ô sin2 A= sin3 a sin3 B et enfin sin b sin A=sin a sin B.

Telle est la relation demandée. On voit par là que dans tout triangle sphérique les sinus des angles sont proportionnels aux sinus des côtes qui leur sont opposes. On a donc les trois nouvelles équations

sin 6 sin A=sin« sinB , \ sine sinA=sin<r sinC, | sini sinC = sine sinB j

86. Pour trouver la troisième formule, c’est-à-dire une îelation entre a , h, A et C, par exemple, il faudra éliminer c entre la première et la troisième des formules [58]; mais, comme sine et cosc y entrent tous deux, il faudra y joindre une équation entre ces deux quantités. Nous prendrons, pour cela , la seconde des équations [59]

sine sin A=sin« sinC, d’où «in r — s‘nfls‘nt"

. sinA

sinr?. sin/< cosC = cose — cosa cosb , nous tirerons

cos c = sin a sin b cos C cos a cos b , et, en substituant ces valeurs de sine et de cosc dans sin b sin c cos A = cos a — cos^ cos c, nous trouverons sin a sin b sin C cos A

' — cos n — sm « sin b cos b cos C — cos a cos *b.

Je divise les deux membres de cette équation par sin a sinÆ cos b cos C ,

et en observant que cos« — cos <7 cos’/; = cos «y s i nV; ,

^TZiCOt A tang G=cœC COt ta,,g b ~ 1 ’

d’où. — =

cot b cosC cot C ' cos b

il viendra

Amsi, en appelant premier côte et premier angle le côté et V angle qui sont opposés F un à F autre, on pourra dire que le rapport de la cotangente du premier côté à celle du deuxieme, multiplié par la sécante du second angle, est égal a V unité augmentée du produit du rapport de la cotangente du premier angle à celte du deuxième multiplié par la secante du second côté.

Si dans la formule [p] on remplace les cotangentes du

deuxième côté b et du deuxième angle C par leurs valeurs

COS et , puis que l’on chasse les dénominateurs, on trousm b sm C 1 1

vera , en formant toutes les combinaisons que l’on peut faire avec deux côtés, l’angle compris, et l’angle opposé à l’un d’eux ,

cotrt sin b= cos b cos C cota sin c = cos c cos B cot b sin a = cos« cos C cot b sin c == cos c cos A cot c sin a = cos a cos B cot c sin b = cos b cos A

87. Enfin pour obtenir la quatrième combinaison, on appliquera le théorème fondamental au triangle A'B'C' supplémentaire de ABC, c’est-à-dire au triangle sphérique compris entre les faces du trièdre supplémentaire de celui qui répond à ABC. Remplaçons donc dans la formule [a] du n° 82 , a, b, c, e t A respectivement par 180° — A, 180° — B, 180° — C et 180° — a, et nous trouverons

sin B sin C cos« = cos A -j-cos B cos C.

Ainsi le produit du cosinus d’un côté par les sinus des angles adjacents est égal au cosinus de l’angle opposé, diminué du produit des cosinus des deux autres angles.

En appliquant ce théorème successivement aux trois côtés a, b, c, on trouvera

sinBsinCcos«=cosA sinAsinCcosô=cosB sinAsinBcosc=cosC

88. Les quatre groupes de formules que nous venons d’obtenir présentent les quinze combinaisons que l’on peut faire avec les six quantités a , b , c, A, B, C, prises quatre à quatre , de sorte que, pour résoudre un triangle sphérique, il suffira de choisir celle qui conviendra au cas proposé, et de la rendre propre au calcul logarithmique, ce qui sera facile à l’aide de la transformation que nous avons indiquée au n° 65; car l’inconnue aura toujours pour expression un binôme dont l’un des termes renfermera le sinus et l’autre le cosinus d’un même arc, comme nous le montrerons dans le chapitre suivant.

•cosBcosC \ cos A cos C [ [Cl J.

cosAcosB j

•cot A sinC cotAsinB • cot B sin C cot B sin A

■ cot C sin B

■ cot C sin A

[COj.

TH1G0N0MÉTRIE.

89. Si le triangle proposé est rectangle en A , par exemple, les formules précédentes se simplifieront considérablement; car, en introduisant celte hypothèse dans celles de nos quinze formules où entre l’angle A, elles deviendront

cos a = cos b cos c sin b = sin a sin B ) sin c = sin a sinC )

tangé = tanga cosC tangè = sin c tang B tang c = tang a cos B tangc = sin£ tangC cosa = cotBcotC cosB=cos£ sinC | [65].

cosC=coscsinB J

Ces dix formules, auxquelles le calcul logarithmique s’applique immédiatement, renferment toutes les combinaisons que l’on peut faire de deux données et d’une seule inconnue avec les cinq quantités B, C, a, b, c, de sorte qu’elles fournissent la résolution complète des triangles sphériques rectangles.