CHAPITRE PREMIER

§ I. Notions préliminaires.

1 . Lorsqu’on veut appliquer l’algèbre à la re'solution d’un problème de géométrie, on commence par rapporter toutes les lignes connues et inconnues à une même unité, et on représente les longueurs des unes, c’est-à-dire leurs rapports à l’unité linéaire, par les premières lettres de l’alphabet, et celles des autres par les dernières, suivant les conventions faites dans l’algèbre. On cherche ensuite à lier les lignes données avec les lignes inconnues, d’après les conditions de l’énoncé et au moyen des théorèmes de la géométrie; on exprime ces relations algébriquement, et on parvient ainsi à mettre le problème en équation. Il ne s’agit plus alors que de résoudre les équations qu’on a obtenues, si les données de la question sont exprimées en nombres ; sinon il faut encore ccfnstruire les formules trouvées , c’est-à-dire tracer les lignes dont elles expriment les valeurs. Ainsi, quand on veut résoudre, par le calcul , le problème de partager une droite en moyenne et extrême raison, ou arrive facilement à l’expression de la longueur du plus grand segment en fonction de celle de cette droite; mais comme cette dernière longueur n’est pas connue numériquement , on ne peut pas calculer ce plus grand segment au moyen de la formule obtenue; il reste à en déduire les opérations graphiques qu’il faut faire pour le déterminer.

2. Montrer comment on doit s'y prendre pour appliquer l'algèbre h la résolution de toutes les questions de géométrie , et réciproquement comment on parvient à traduire en géométrie les résultats de l'analyse, tel est le but de la Géométrie analytique, ou autrement de /'application de l’algèbre a la géométrie.

3. On voit, d’après ce qui précède (1), que la résolution d’un problème de géométrie se compose de trois parties distinctes : 1° mettre le problème en équation ; 2° résoudre les équations ainsi obtenues ; 3° construire les formules trouvées. De ces trois parties, la seconde est une question purement algébrique, et dont, par conséquent, nous n’avons pas à nous occuper ici : quant aux deux autres, elles sont essentiellement du ressort de la géométrie analytique ; mais avec cette différence qu’il n’y a pas de règles précises pour mettre en équation un problème de géométrie, tandis que la construction des racines des équations que l’on obtient est assujettie à une méthode régulière et uniforme. En conséquence , nous allons d’abord nous occuper de la construction des expressions algébriques , puis nous ferons connaître les

Iiréceptes qu’il convient de suivre pour mettre en équation es problèmes de géométrie. En suivant cet ordre, nous pourrons achever complètement la résolution des problèmes que nous prendrons ensuite pour exemples.

4. Avant d’exposer la méthode que l’on emploie pour la construction des expressions algébriques, nous démontrerons le théorème suivant, sur lequel repose cette méthode.

I/jrsqu’en appliquant l'algèbre à la résolution d un problème de géométrie ou de physique , on n’a pris aucune des quantités que Von considère pour unité , l'équation ou les équations que Ion obtient sont nécessairement homogènes, c’est-à-dire que la somme îles exposants de chaque terme est constante (il est entendu que les sinus et les autres fonctions trigonométriques , les logarithmes et les exposants sont des nombres absolus, qui ne changent point avec les unités que l’on a choisies , de sorte qu’on doit les regarder comme étant de la dimension zéro , qui est celle de tous les nombres abstraits).

Il est évident que toute équation du problème que l’on traite exprime une relation nécessaire entre certaines grandeurs concrètes , et que cette relation est indépendante des unités auxquelles on a comparé ces grandeurs pour les évaluer en nombres*." Cette équation ne sera donc pas altérée

* Ainsi la relation qu’ exprime le théorème de Pythagnrc entre les trois côtés d’un triangle rectangle a toujours lieu, quelle que soit l’unité linéaire avec laquelle on mesure ces côtés.

quand on rapportera les quantités qu’elle renferme à de nouvelles unités. Or, si une certaine unité devient // fois plus petite, toutes les quantités de son espèce seront alors représentées par des nombres n fois plus grands, de sorte que l’équation dout il s’agit devra subsister encore lorsqu’on y donnera à chacune de ces quantités une valeur n fois plus grande. Mais chaque terme de notre équation se trouvera ainsi multiplié par une puissance de «"marquée par le degré de ce terme* *; ainsi tous les termes du même degré, quelque diverse que puisse être leur composition , variant dans le même rapport, tandis que les termes de degrés différents varient dans d’autres rapports, il faudra nécessairement, pour que l’équation ne soit pas troublée, que tous les termes qu elle contient soient du même degré, c’est-à-dire qu’elle soit homogène.

Remarquons que cette démonstration suppose essentiellement qu’aucune des quantités que l’on considère dans la question n'a été prise pour unité ; car, puisque l’on n’écrit jamais le multiplicateur ou le diviseur 1 , on ne pourrait pas exprimer, dans les termes où la quantité prise pour unité serait entrée comme multiplicateur ou comme diviseur, que cette unité est devenue n fois plus petite.

i>. Observons encore que si l’on considère dans le problème proposé des grandeurs de natures différentes , il pourra arriver que les unités respectives soient indépendantes les unes des autres , et alors l’équation devra être homogène , soit par rapport à toutes ces grandeurs, soit que l’on ne veuille considérer qu’une seule ou plusieurs d’entre elles** ;

Par exemple, a, b, c, d représentant les longueurs de certaines

* - ’ /9<iéV

àtes , si l'unité linéaire devient n fois phis petite , le terme w ^ -

droites

qui est du degré ~ deviendra

** Considérons , par exemple

, par exemple, l’équation du me

mouvement uniforme

e~vt,

dans laquelle e représente l’espace parcouru dans le temps t par un mobile dont la vitesse est ». Cette vitesse est le rapport d’un certain espace «Iti temps employé à le parcourir : ainsi » est du premier degré par

mais, si plusieurs unités dépendent les unes des autres, l'homogénéité n’existera qu’en ayant égard à leur subordination mutuelle. Ainsi, par exemple, s’il entre dans la question proposée des lignes, des aires et des volumes, on devra doubler les exposants des facteurs qui représentent des aires, et tripler ceux des facteurs qui se rapportent .à des volumes. On reconnaît ainsi que l'équation

Tic — ‘Xdb — 5 es,

dans laquelle a , b , c représentent des lignes , s une aire et v un volume , est homogène.

6. L’homogénéité cesse d’exister, dès que l’on prend pour unité une des quantités que l’on considère; car alors les facteurs égaux à cette unité disparaissent. Mais il est facile de la rétablir. Supposons, en effet, que l’on ait pris une certaine quantité A pour unité, et soient />, c, d. . . les rapports des autres grandeurs B, C, D. . . de la même espèce à A : l’équation du problème qui pourra être représentée par ?(*, c,d....)—0,

ne sera pas homogène. Mais veut-on rétablir l’homogénéité, on rapportera les quantités A, B, C, D.... à une nouvelle unité U, et en appelant d, U , d , d! .... leurs rapports à cette unité , on aura

A =dU, B =dU, C=dU, D =</U,....

Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation du problème, l’équation résultante

qu’on en déduit en supprimant les accents, qui sont maintenant inutiles, sera homogène , puisqu’aucune des quantités que l’on considère n’est prise pour unité.

rapport à l'espace , et du degré — 1 relativement au temps ; d’où l’on voit que l’équation ci-dessus est homogène, soit que l’on ne considère que l’espace ou le temps , soit qu’on les considère à la fois. •

On voit donc , en comparant l'équation proposée

<p(A>, c, d,...) = 0 avec sa transformée <p^, c-, ^,...^=0,

que, qiuuid une des quantités qui entrent dans la question aura été prise pour unité, il faudra, pour rétablir l’ homogénéité, représenter la valeur numérique de cette quantité par une certaine lettre, puis remplacer les quantités qui sont de la même espèce que celle-ci par leurs rapports respectifs à cette quantité, ou, ce qui revient au meme , introduire cette lettre comme multiplicateur ou comme diviseur dans les différents termes île cette équation, selon qu'il sera nécessaire , pour les rendre tous du même degré. Supposons, par exemple, qu’ayant pris une certaine ligne pour unité, on ait trouvé pour expression de la lignes, la formule

on représentera par k la longueur de la ligne qui a été prise pour unité, on remplacera les quantités x, a, b, c et d

respectivement par j et et il viendra, toute réduction faite,

*=\Jak

ou bien on observera que, le premier membre ayant une dimension , la quantité soumise au radical doit être du second

degré; et comme les termes a et ^ sont respectivement du

premier degré et du degré — 1, on multipliera le prcntier par k et le second par A*, ce qui conduira plus rapidement à la valeur trouvée ci-dessus.

§ II. Construction des expressions algébriques.

7. Nous supposerons, daus tout ce qui va suivre, que l’on ait rendu homogènes les expressions à construire , si elles ne le sont pas; car, celle des lignes de la question qu’on aurait prise pour unité n’entrant pas explicitement dans les formules, il serait impossible de reconnaître à quelles constructions elle devrait être soumise.