PI

On construira les droites^, y et z (12), et la valeur de x deviendra

cdeif+r—Xr)

On construira (1 3) les droites

et l’expression de x , étant ramenée ainsi à

l cdey"

pqz' \

sera enfin facile à construire (12).

13. Supposons maintenant que l’expression de la droite à construire soit irrationnelle : il pourra se faire que les indices des radicaux qui y entrent soient des puissances parfaites de 2, ou des nombres quelconques. Nous ne nous occuperons ici que des formules irrationnelles de la première -espèce; et, pour prendre d’abord le cas le plus simple, nous supposerons que la quantité à construire ne renferme qu’un seul radical et qu’il soit du second degré.

La quantité soumise au radical devra avoir deux dimensions, de sorte que, si elle est monôme et entière, la valeur de x .sera de la forme

: y lob.

On la construira donc en cherchant une moyenne proportionnelle entre a et b par l’un des trois procédés que nous avons donnés dans notre Géométrie (276).

16. Si le radical porte sur un monôme fractionnaire, le numérateur de ce monôme aura deux dimensions de plus que le dénominateur; ainsi la valeur de x sera de la forme

Pour la construire, on la mettra sous la forme

on construira une droite y '= — , et on obtiendra ensuite x

^ Pl\

en cherchant une moyenne proportionnelle entre a et y.

1 7. Lorsque la quantité soumise au radical est polynôme et sans diviseur, chacun de ses termes doit avoir deux dimensions, de sorte que la valeur de x est de la forme

x=\jab-^-cd — ~ëf.

Pour la construire, on fait acquérir à tous les termes du polynôme un facteur commun, en posant

cd—ay, d’où X=^\ cf = aÿ , d’où

et la valeur de x devenant ainsi

x=\Ja(b-\-y— /),

on l’obtiendra en cherchant une moyenne proportionnelle entre les droites a ot (b-\-y— y1). •

18. Si le polynôme est fractionnaire, chacun des termes du numérateur de chaque fraction aura deux dimensions de plus que ceux de son dénominateur : quant aux termes entiers, ils seront tous du second degré. Ainsi la valeur de x sera

de la forme «

x=i/cd>+efeh+Mm-.

V 1 i)(i rs

On agira comme au n° 14, c’est-à-dire que l’on posera

•/ / /• > iklm i» ' W

*klm—efgjr, dou/=^, rs=pzy d ou *=-,

vO ^ i

et alors l’expression précédente de x deviendra

On construira maintenant une droite yJ == viendra enfin

fgd‘+f) Pif!—*) ’

X= \](d>-\-eyJ,

quantité que nous savons construire (1 7). ,

et il

19. Il est maintenant facile de construire les expressions irrationnelles dans lesquelles les indices des radicaux sont des puissances exactes de 2; car de pareilles formules peuvent toujours se transformer en d’autres expressions où il n’entre que des radicaux du second degré. Nous nous bornerons à un seul exemple qui sera suffisant pour faire concevoir comment on devra s’y prendre dans tous les cas. Soit

on posera

aW=«y, d’où d’où /=^=^rî

et la valeur de x deviendra

a-\-jr

Cela posé , on construira les valeurs de jr et de y' par la méthode du n° 12, ou mieux en cherchant, 1° une droite qui soit à la droite b comme le carré est au carré 2° une droite qui soit à la droite b comme le carré y est au carré or* ( Géométrie , 41 S). On cherchera ensuite un carré «* qui soit au carré comme la droite (a — y- \-y') est à la droite (fl-j-y, et l’expression de x étant ainsi réduite à

x — \jau,

on l’obtiendra en construisant une moyenne proportionnelle entre a et u.

20. Il résulte de ce qui précède que toute quantité algébrique rationnelle ou irrationnelle, qui représente une droite, pourra toujours être construite en cherchant seulement des quatrièmes et des moyennes proportionnelles , pourvu toutefois que les indices des radicaux qu’elle renferme, si elle est irrationnelle, soient des puissances exactes de 2.

2 1 . On parvient souvent , par des procédés particuliers , à construire les formules d’une manière plus simple et plus rapide que par la méthode générale que nous venons de développer. Comme ces procédés tiennent uniquement à la forme des expressions proposées , nous ne pourrons en indiquer que quelques exemples.

Les formules

x= y r/1 — ) — />* et x = \j<P — b'

se construisent directement, au moyen du théorème de Pythngore : ainsi , on reconnaît immédiatement que la première représente l’hypoténuse d’un triangle rectangle, dont les deux autres côtés sont a et b , et que la deuxième est l’un des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle, dont l’autre côté de l’angle droit est b, et qui a a pour hypoténuse. Il sera donc facile de contruire ces formules.

Remarquons que x = \^7F — // peut se construire aussi en cherchant une moyenne proportionnelle entre (a -j- ô ) et (a — b).