LIEUX GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS

§ II. Lieux géométriques des équations.

48. Concevons maintenant une ligne quelconque HS tra- Kig. 16 cée sur un plan, et sur ce plan les axes des coordonnées Xx et Y y : il est facile de voir que, si l’on prend sur l’axe des x une abscisse quelconque OP, l’ordonnée du point de la courbe qui a OP pour abscisse sera déterminée; car il suffira, pour l’obtenir, de mener par le point P une parallèle à l’axe des^', et la partie PM de cette parallèle comprise entre l’axe des abscisses et la courbe sera l’ordonnée du point M. Ainsi, l’ordonnée d’un point quelconque de la ligne RS est une fonction déterminée de l’abscisse de ce point, et réciproquement.

Si cette fonction est constante , c’est-à-dire si la ligne pro- , posée est telle que, pour obtenir l’ordonnée d’un de ses points, il faille faire sur son abscisse les mêmes opérations qu’on a dû effectuer sur l’abscisse de tout autre point pour avoir son ordonnée, l’équation qui exprimera la relation qui a lieu ainsi entre l’abscisse et l’ordonnée d’un point quelconque de la ligne est ce que Descartes a appelé t équation de cette ligne.

On dit donc que l'équation d’une ligne est t expression de la relation constante qui existe entre les coordonnées de ' clrncun de ses points. Cette équation doit être, comme on voit, l’expression analytique de la loi suivant laquelle se succèdent les différents points de la ligne que l’on considère, de sorte que, dès que l’on connaîtra la définition géométrique de cette ligne, ou, ce qui revient au même, l’une quelconque des propriétés qui la caractérisent, il sera possible d’obtenir son équation. Mais on ne pourrait pas représenter par une équation le trait que la main trace sur une feuille de papier, parce que l’on ignore entièrement la loi de sa génération.

48. Descaries ne s’est pas borné à représenter airtsi les lignes par des équations ; il a montré que réciproquement toute équation fx, y) = 0 entre deux variables représente en général une ligne, lorsque l’on regarde tune de ces variables comme V abscisse et l’uatre comme t ordonnée d’un meme point. Supposons, en effet, que l’on ait résolu cette équation par rapport à l’une des deux inconnues y, par exemple, et qu’on en ait tiré différentes valeurs

Considérons la première y=ty(x) et donnons à .r différentes valeurs a, a', a ", a", ....; on en déduira des valeurs correspondantes j3, |ï', jâ'", .... pour y. Construisons maintenant les points M , M', RI", RI'", (45) qui ont pour coor-

données tous ces couples

X=ol'\

et joignons chaque point avec le suivant par une ligne droite;