LIEUX GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS. * 1Ü

pas discontinues; mais on pourra toujours construire un certain nombre de ces points , et il ne restera plus qu'à les unir . par un trait continu , pour avoir ainsi une ligne qui différera d’autant moins du lieu de l’équation proposée que les points que l’on aura déterminés directement seront plus rapprochés et plus nombreux.

Prenons pour exemple l’équation

900/’ — 30xs-f-xi=0,

supposons que l’unité linéaire soit le millimètre, et que les axes Yy et X.r auxquels sont rapportés les points de son lieu géométrique soient rectangulaires. On en tire

^=±ëvr(3ü—.tO.

Cette expression nous montre qu’à une même valeur de x Fig. IT. correspondent deux valeurs de^régales et de signes contraires, de sorte que pour avoir les points correspondants à une certaine abscisse OP, il faudra mener par le point P une parallèle à l’axe des^', et prendre sur cette parallèle, à partir du point P, deux distances PM et PM' égales à la valeur dey qui correspond à celle que l’on aura donnée à x. Ainsi l’axe des abscisses partage la courbe en deux parties parfaitement symétriques. Cela posé, on voit encore, à l’inspection de la formule précédente, que si l’on donne à x des valeurs négatives, ou des valeurs positives plus grandes que 30 millimètres, les valeurs correspondantes de y seront constamment imaginaires, de sorte que le lieu de l’équation proposée est compris entre l’axe des ordonnées et la parallèle à cet axe qui en est distante de 30 millimètres. Partageons donc cet intervalle en un certain nombre de parties égales, en dix, par exemple, et donnons à x les valeurs

il en résultera pour y les valeurs correspondantes 0; 0,3; 2,4; 4,1; 5,9; 7,5; 8,8; 9,7; 9,6; 8,1; 0.

Comme la différence des deux dernières ordonnées 8ra“,1 etO, est fort grande , nous allons donner à x des valeurs intermédiaires entre 27 millimètres et 30 millimètres. Nous supposerons

«=28 et x = 29,

et nous trouverons

.7=6,9 et 7=5 fl. .

Ainsi la courbe part de 1 origine , s éloigne lentement de 1 axe des abscisses jusqu’à 9“”“, 7 environ de cet axe, et s’en rapproche ensuite rapidement pour venir le couper à 30 millimètres de l’origine. En construisant les points qui ont pour abscisses et pour ordonnées tous les couples de valeurs que nous venons de trouver, et en unissant ces points par un trait continu, on aura une courbe qui représentera assez exactement le lieu de l’équation proposée.

31. Il arrive très-souvent que l’on n’a pas besoin de tracer exactement la courbe représentée par une équation donnée <p(.r, /)=0, et qu’il suffit d 'acquérir une idée de la forme générale de cette courbe et de sa position par rapport aux axes des coordonnées. On atteint assez facilement ce but, lorsque l’équation <p(.r, 7)=0 peut être résolue par rapport à l’une des variables qu elle renferme. Supposons, en effet, que l’on en ait tiré les valeurs suivantes de 7,

<JO), t:0)> 7.0)— étant des fonctions connues de x. La question sera réduite à reconnaître le cours de chacune des branches représentées par ces équations partielles, et on y parviendra en supposant que x croisse d'une manière continue depuis zéro jusqu’à -j-30 et depuis zéro jusqu’à — 30 , et en examinant avec soin comment varieront , dans les mêmes circonstances, les fonctions 40)’ *0)» /O)- • • , c’est-à-dire les ordonnées correspondantes aux abscisses que l’on considère.

Si I on trouve, par exemple, que <j;(.r) devient infinie pour une certaine valeur de x , ou que cette fonction ne cesse pas d’être réelle lorsque l’on donnera à x des valeurs croissantes au delà de toute limite, on en conclura que le cours de la première branche est infini , puisqu’elle s’éloignera indéfiniment de l’un des axes des coordonnées ou de tous les deux à la fois.

Si , pour toutes les valeurs de x comprises entre certaines limites, 4(r) devient imaginaire, ce sera un signe que la branche 7=4(-2;) est discontinue , c’est-à-dire composée de parties séparées j et si, à partir d’une certaine valeur de x

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