LIEUX GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS

positive ou négative, t|* (.z) reste constamment imaginaire, la branche dont il s’agit sera limitée dans le sens des abscisses positives ou des abscisses négatives.

52. Prenons pour exemple l’équation a? — y=0. On en tire y=x', et comme / n’aura qu’une seule valeur, pour chaque valeur donnée à x, il en résulte que la courbe cherchée n’a qu’une seule branche. Si on suppose x=0, on aura y=0 ; ainsi la courbe passe par l’origine. Si on fait croître x depuis zéro jusqu’à -j-1 , y augmentera , mais très-lentement, depuis zéro jusqu’à l’unité ; car les puissances d’une fraction sont toujours moindres que cette fraction. Donc, la courbe partie de l’origine s’élèvera peu à peu au-dessus de l’axe des x en s’éloignant de celui des y, et elle viendra passer par le point M dont les deux coordonnées sont égales à -j-l . Si x Fig. 18. continue d’augmenter, /-augmentera encore mais très-rapidement, etpour.r=» on aura aussi /—» ; donc, à partir

du point M, la courbe s’élèvera fort vite au-dessus de l’axe des x, et s’étendra à des distances infinies des deux axes coordonnés, dans l’angle YOX.

Il faut maintenant donner des valeurs négatives à x; mais je remarque que l’équation proposée ne changeant pas lorsqu'on y remplace x et y par — x et par — y, il en résulte que si N est un point trouvé précédemment, il n’y aura qu’à prolonger la droite NO d’une quantité ON' = ON, et le point N* appartiendra à la courbe , puisque l’égalité des triangles ONP et ON'Pr prouve que les coordonnées du point N' sont égales et de signes contraires à celles du point N, et que par conséquent elles vérifient l’équation proposée x 3 — /== 0. Ainsi, pour construire la partie de la courbe qui s’étend à gauche de l’axe des/-, il suffira de joindre chaque point de la branche positive à l’origine par une droite que l’on prolongera d’une quantité égale à elle-même. En conséquence, le point O est ce que nous avons appelé un centre dans nos Eléments de géométrie (1 8Q). T OT est à peu près le lieu de l’équation

53. Si l’équation proposée ne renferme qu’une seule variable x, comme l’équation

on observera qu’en la supposant du degré ni, elle sera décom-

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posablc en m facteurs du premier degré ( x — a), (x~~b), (x — c),.... (x — •/(), de sorte que toutes les solutions de cette équation seront données par les équations partielles

Or, tous les points , dont les coordonnées vérifient l’équation x — « = 0, ont a pour abscisse, si cette quantité a est réelle; donc ils sont tous situés sur une parallèle menée à l’axe des y à la distance a de cet axe; donc, cette parallèle est le lieu de l’équation x — a=0. Par conséquent, si l’on construit les points déterminés par tous les couples de valeurs de x et de^y qui vérifient l’équation <p(x) — 0, on trouvera autant de parallèles à l’axe des y que cette équation a de racines réelles et inégales; donc on peut dire que le lieu de cette équation est le système de toutes ces parallèles.

54. Tout ce que nous venons de dire d’une équation entre deux variables , qui représentent les coordonnées rectilignes d'un même point, s’appliquerait encore au cas où ces variables désigneraient toutes autres coordonnées d’un point; ainsi une équation <p(w,p) = 0, dans laquelle p désigne le rayon vecteur d’un point et ta l’angle que ce rayon vecteur fait avec l’axe polaire , représente en général une ligne.

De même l’équation

9(p)=0==(P — «)(p — *)(P — c) — Cp — représente autant de circonférences concentriques qu'elle a de racines réelles et inégales; car on voit facilement que le lieu de l’équation p — rt=0 estune circonférence décrite du pôle comme centre avec le rayon a , puisque les points dont les coordonnées polaires vérifient cette équation sont tous situés à la distancer* du pôle.

Par une raison semblable, l’équation <p(w)=0 représente autant de droites issues du pôle qulelle a de racines réelles et

inégales. Ainsi l’équation sin w = ^ représente deux droites

qui partant du pôle font avec l’axe polaire des angles respectifs de 30° et de \ 50°.

Jîij. Descartes avait appelé courbes géométriques celles dont l’équation en coordonnées rectilignes était algébrique , c’est-à-dire , dans laquelle les deux variables n’entraient ni

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comme exposants, ni sous aucun des signes logarithmiques ou trigonomctriques, et il avait donné le nom de courbes mécaniques à toutes les autres lignes. Leibnitz a substitué à ces dénominations celles de courbes algébriques et de courbes transcendantes , qui ont été adoptées par tous les géomètres; car elles ont l’avantage d’exprimer quelle est la nature de la fonction que l’on considère. Nous ne nous occuperons en général que des courbes algébriques, et nous les supposerons rapportées à deux axes rectilignes.

»S6. On est convenu de classer les courbes algébriques en différents ordres, d’après le degré de leur équation ; ainsi l’équation du premier degré représente une ligne du premier ordre; celle du second degré une ligne du second ordre, et ainsi de suite.

Remarquons, toutefois, que cette classification suppose ce principe, que nous démontrerons plus tard, savoir : que le degré de f équation d'une courbe est indépendant du système d’ares coordonnés auxquels on la rapporte (102).

S7. Il est important d’observer qu’une éqiuition à deux indéterminées ne représente pas nécessairement une courbe de l'ordre indiqué par son degré, mais qu’elle peut représenter un système de ligne* et un ordre inférieur, et même ne représenter que des lignes du premier ordre. En effet, soit A=0 cette équation, et supposons que son premier mems bre soit décomposable en deux facteurs rationnels B et C ; il est évident que les solutions de l’équation A=:0 sont les mêmes que celles des deux équations partielles B=0 et C=0 ; de sorte que le lieu de cette équation A = 0 est celui de tous les points dont les coordonnées vérifient séparément les équations B = 0 et C = 0; mais chacune de ces équations représente une certaine ligne; donc le lieu de l’équation proposée est le système de ces deux lignes. Ainsi l’équation f- — f- <&) (^> — çx) = 0 représente une ligne du premier ordre et une du second. Enfin, si le premier membre de l’équation proposée A = 0 était décomposable en facteurs rationnels du premier degré, le lieu de cette équation serait le système d'autant de lignes du premier ordre qu’il y aurait de ces facteurs réels et différents. Telle est l’équation/5 — r'y -\-J^-\-xy=0', car elle revient — .r-|-l)=0;

et ainsi elle représente trois lignes du premier ordre.

L’cquation homogène ym-\-alxym~'-\-utx'ym~'- f-

+«-** =0 représente le système d’autant de lignes du premier ordre, qui passent par l’origine, que l’équation numérique + à laquelle on la

ramène, en posant y= zx , a de racines réelles et inégales; car, en désignant par ($,, jï,, (3r . . . (3m les racines de cette dernière équation, on pourra mettre la proposée sous la forme

O— M) C r — M Cr — P»*) • • • • C r— M = o .

58. Il suit immédiatement de là que, pour représenter plusieurs lignes par une même équation, il n’y a qu’à multiplier leurs équations membre à membre , après avoir transposé tous les termes de chacune d’elles dans son premier membre. Ainsi les lignes que construisent les deux équations A=B et C = D seront représentées par la seule équation (A — B)(C— D)=0.

59. Il est bon de remarquer que si l’on avait multiplié, membre à membre, les deux équations A=B et C = D, l’équation résultante AC = BD n’aurait pas représenté les lieux de ces deux équations, mais seulement une courbe passant par leurs points d’intersection. En effet, tout couple de valeurs de x et de^, qui vérifie les équations A=B et C=D, satisfait nécessairement à l’équafion AC=BD : mais le point qui a ces valeurs de x et de^- pour coordonnées appartient nécessairement à chacune des courbes représentées par ces trois équations (49); donc le lieu de l’équation AC = BD passe par les points d intersection des courbes A = B et C = D.

Le lieu de l’équation formée de toute autre combinaison des équations A=B et C=D jouirait de la même propriété.