Une équation à deux indéterminées peut ne repré

senter qu’un système de points isolés, et même ne rien représenter. Par exemple, l’équation 1=0 ne repré-

sente rien ; car il n’existe aucun couple de valeurs de x et àe y qui puisse vérifier cette équation; mais le lieu de l’équation t

\-(y— bj=. o

est le système de quatre points. En effet, on ne peut satisfaire à cette équation qu’en posant simultanément

xJ — <i,= 0 et y' — b'—i),

LIEUX GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS. Iîl9

puisque la somme de plusieurs carrés ne peut être nulle qu’autant que chacun d’eux est nul en particulier. On tire de ces deux équations

x=ziz a et j'—dt :b,

d’où résultent les quatre couples

et les quatre seuls couples de valeurs de x et de y qui puissent vérifier l’équation proposée. Donc, le lieu de cette équation est le système des quatre points qui ont pour coordonnées ces quatre couples de valeurs.

61. Il suit de là et du n°88 que, pour former une équation qui représente plusieurs points isolés, dont on connaît les coordonnées, il n’y a qu’à représenter chacun d’eux par une équation de la forme

et multiplier ces équations membre à membre. Ainsi, les points (1 ,2), ( — 1 ,2) sont le lieu de l’équation

K* - 1 » 7 ■ + O- 2)*] . [(x + 1 )■+ cr- 2)*] = o .

^ § III. Équations des lieux géométriques.

62. Lorsque deux lignes quelconques se coupent, elles ont à leurs points d’intersection mêmes coordonnées , de sorte que leurs équations seront satisfaites lorsque l’on y remplacera x et y par les coordonnées de ccs points; ainsi, les équations de deux lignes doivent admettre autant de solutions communes que ces lignes ont de points communs, et réciproquement; car il est évident que les deux lignes doivent passer par les points qui ont pour coordonnées les divers couples de valeurs de x et dc^- qui vérifient leurs équations. Il suit de là que, pour trouver les coordonnées des points d'intersection de deux lignes, il faut chercher toutes les solutions communes à leurs équations. Ainsi , l’équation finale résultant de l’élimination de y, par exemple, entre ces équations, aura pour racines les abscisses des points d’intersection des deux lignes.

Exemple. Trouver les coordonnées des points d’intersection des courbes qui ont pour équations

jA — 4x = 0 et j'-^-xé — 9x-f-4=0.

En éliminant^/* entre ces équations, on trouvera z? — 5.r-}-4=0,

d’où x~ \ et æ = 4. En substituant ces valeurs dans la première des équations proposées, on trouvera ^=±2 et ^-=±4, de sorte que les deux courbes se coupent aux quatre points

(1,2), (1,-2), (4,4) et (4,-4).

63. Il suit de là qu'une ligne du premier ordre (nous verrons bientôt que c’est une droite) ne peut rencontrer une courbe de l’ordre m en plus de in points ; car l’équation finale, qu’on obtiendra en éliminant^- entre les équations de ces deux lignes , étant du degré m , ne donnera pas plus de m valeurs réelles pour x , et à chacune d’elles correspondra seulement une pareille valeur de^\

64. Lorsque la solution d’un problème de géométrie dépend de la connaissance d’un point, on peut prendre pour inconnues les coordonnées x et y de ce point, et alors, après avoir mis le problème en équation, et éliminé les inconnues auxiliaires, si l’on en a employé, on arrivera nécessairement à deux équations y(x,j') = 0 et i|/(.r,^')=0, où il n’y aura d’IRconnues que les deux coordonnées du point dont il s’agit, si le problème est déterminé. Alors, au lieu de résoudre ces deux équations , il sera beaucoup plus élégant de regarder, dans chacune d’elles, les deux inconnues x et y comme des coordonnées courantes , c’est-à-dire, comme désignant les coordonnées d’un meme point , et de construire les lieux ainsi représentés par ces équations ; leurs points d’intersection seront les différentes solutions de la question proposée , puisqu’ils auront pour coordonnées les différents couples de valeurs de x et de qui vérifient les équations du problème. Si donc les deux lieux ne se coupent qu’en un point, la question n’admettra qu’une solution, et elle sera impossible, s’ils ne se rencontrent pas*.

Si les inconnues d'un problème sont deux lignes droites, on n’aura encore qu’à tracer les lieux géométriques des équations qui les determi-

Observons que si l’on peut substituer au système des deux équations dont on devra construire les lieux géométriques un système d’équations plus simples , il ne faudra jamais négliger de le faire.

65. Si le nombre des équations du problème est inférieur d’une unité à celui des inconnues, ces équations seront indéterminées ; ainsi, pour chaque système de valeurs des inconnues auxiliaires t, z , t/,....'on aura un ou plusieurs couples de valeurs de x et de^, ce qui déterminera un ou plusieurs points, qui seront autant de solutions de la question. On peut alors se proposer de trouver l'équation du lieu de tous ces points. Pour y parvenir, j’observe que, si on donne une valeur arbitraire à l’une quelconque t des variables auxiliaires t, 2, u,... , on pourra résoudre les équations du problème, et les valeurs de x et de y qu’on en tirera seront les coordonnées d’un point du lieu. Or, si on élimine ces variables auxiliaires t, z, u,.... entre les équations de la question, on obtiendra une équation finale en x et enj-, qui sera vérifiée par tous les couples et par les seuls couples de valeurs de x et de p, qui, conjointement avec certaines valeurs de ces variables, peuvent satisfaire à ces équations; mais ces couples de valeurs de x et dey sont, comme nous venons de le dire, les coordonnées de tous les points du lieu; donc cette équation finale est l’équation du lieu géométrique de tous les points qui satisfont au problème qu’on s’est proposé.

66. Nous allons donner quelques exemples de la recherche d’équations de lignes dont la définition est connue; mais auparavant nous résoudrons un problème qui nous sera fort utile dans la suite.

Problème. Trouver V expression de la distance de deux points en fonction de leurs coordonnées , soit rectilignes , soit polaires.

Supposant d’abord que les coordonnées soient rectilignes et qu’on les compte sur deux axes faisant entre eux l’angle G,

nent , et , en tirant les coordonnées de leurs points d’intersection , oh aura toutes Jes solutions de ce problème. Ainsi , dans la question du n° 40, on construira les lieiix géométriques des équations [11] et [12], et les coordonnées de leurs points d’intersection seront les valeurs de r et de A.

Fig. io. je commencerai par chercher la distance du point

à l’origine des coordonnées. Pour cela, je tire MP parallèlement à l’axe de y, et je forme ainsi un triangle OMP dans lequel on aura ( Trig ., 55)

ümWmF+oF— 2MP.OP cosOPM, ou bien 5,==/,-f-.r1-{-2.r^cos9 [1].

Cette formule a été établie pour un cas très-particulier, celui où le point M est situé dans l’angle des coordonnées positives, néanmoins elle est générale et donnera toujours la distance du point M au point O, pourvu qu’on ait égard aux signes de ses coordonnées, comme il sera facile de le vérifier, en supposant que le point M se trouve successivement dans les angles YO.r , XOy et xOy.

S’il s’agit, en effet, du point M*, la considération du triangle OM'F donnera

S,=M7F1-J-7)P1 — 2M'P'.OP'cos9 :

Or, on obtient cette égalité en faisant x= — O F eti/=MP' dans la formule [1 ].

Veut-on actuellement trouver la distance des deux points Fig. 20. M '{.t1, y) et M "{rf' ,y'), on mènera par le point M' des parallèles aux axes des coordonnées et par le point M" la parallèle M"Q à OY, de sorte qu’en prenant, pour un instant, les droites M'Q et M'R pour les axes des coordonnées , et désignant par x et par y ces nouvelles coordonnées M'Q et M'Q du point M", on aura

=^-’ —J— jf* — {— ‘Ixy cos 9 ;

mais y=y — y1 et x = x/' — x/, quels que soient les signes et les grandeurs de x1 , y, x/' et jr'; puis donc que l’équa- • tion [1 j est générale , la formule

s*= C /'—/)*+ y — £) {y — y) cos 9 [2],

que l’on obtiendra en remplaçant x et y par leurs valeurs le sera aussi.

Si l’on suppose que les axes des coordonnées Soient rectangulaires, cos 9 sera nul, et les deux formules précédentes se réduiront à

}•=/+*■ ’ pi;

^(y-yy+v-sy nj.

Il est très-important de retenir les quatre formules que nous venons de trouver.

67. Supposons maintenant que les points M' et M" soient Fig. 21. déterminés par leurs coordonnées polaires («a', p') et (tu", p").

Le triangle M'OM" nous donnera l’équation :

S'=f+ — 2p'p" cos (tu'— tu") [5],

formule qui reste invariable , quelles que soient les positions relatives des points M' et M" à l’égard de l’axe polaire , car cos (tu' — tu") = cos (tu" — tu') .

Si l’on suppose p"=0, la formule précédente deviendra £=p', comme cela devait être, puisque le point M" est venu coïncider avec le pôle.

Remarquons que dans les cinq formules que nous venons de trouver, 5 représente une grandeur absolue, de sorte qu’en extrayant la racine carrée du second membre, il ne faudra affecter cette racine que du seul signe -|-.

68. Rien ne sera plus facile maintenant que de résoudre la question suivante :

Problème. Trouver V équation dune circonférence de cercle , rapportée à des coordonnées rectilignes ou polaires. Cberchons-la d’abord en coordonnées rectilignes et obliques.

Pour cela, désignons par (a,jî) les coordonnées de son centre et par r son rayon, et appelons les coordonnées d’un

point quelconque de la circonférence. L’expression de la distance de ce point au centre sera , en vertu de la formule [2] du n° 66,

v'Cr — fi)’ + 0“a), + 2Cr— - P) (* — «) COS0 ;

mais cette distance doit être égale à r ; donc

V/ (J— 20— P) (*—<*) cos0=r,

ou , en élevant les deux membres de cette équation au carré ,

C r— a)* + 'Kl— P) (x — ■ «) COS 6 == d [6] .

Telle est l’équation de notre circonférence ; car elle est l’expression de la relation constante qui existe entre les coordonnées d’un point quelconque de cette courbe (48).

Si l’on suppose que les axes des coordonnées se coupent

à angles droits, cos 6 sera zéro, et l’équation précédente se réduira à

Si le centre est sur l’axe des x et que la circonférence passe par l’origine, on aura {S=0, et a =r, de sorte que l’équation précédente deviendra

— ‘Irx — 0 [8].

Cette équation manifeste plusieurs propriétés remarquables de la circonférence. En effet , on en tire

y=ztjx(flr—x)i

ainsi, à une même valeur de x correspondent deux valeurs Fig. 22. de y égales et de signes contraires ; donc MfP=MP ; donc l'axe des abscisses coupe en deux parties égales toutes les cordes parallèles à celui des y\ donc , 1 0 la perpendiculaire , abaissée du centre sur une corde , passe par le milieu de celte corde.

Ensuite, l’équation précédente signifie que y est une moyenne proportionnelle entre x et 2 r — x ; mais y est ia perpendiculaire abaissée d’un point quelconque M de la circonférence sur le diamètre OA, dont la direction coïncide avec l’axe des abscisses; .r est la distance OP du pied de cette ordonnée à l’origine, qui est l'une des extrémités de ce diamètre, c’t (2 r — x) est la distance AP de ce pied à l’autre extrémité A de ce même diamètre : donc, 2° la perpendiculaire, abaissée d'un point de la circonférence sur un diamètre, est moyenne proportionnelle entre les deux segments de ce diamètre.

Enfin, on tire de l'équation [8]

ce qui signifie que y^-j-vr* est moyenne proportionnelle entre .r et 2r; mais en vertu de la formule [3] du n° 66, est la longueur de la corde OM, qui va de l’origine à un point quelconque M de la circonférence, x est la projection OP de cette corde sur l’axe des abscisses; donc, 3° toute corde est moyenne proportionnelle entre le diamètre mené par F une de ses extrémités et sa projection sur ce diamètre.

Enfin, si l’origine est placée au centre, a et (3 sont nuis, et l’équation [7] se réduit à

69. On peut de même démontrer très-simplement que deux sécantes qui partent d’un même point sont réciproquement proportionnelles à leurs parties extérieures , et que les parties de deux cordes qui se coupent sont inversement proportionnelles .

Supposons, en effet, que l’on prenne le point O pour Fig. 23. origine des coordonnées rectangulaires et la sécante OMM' pour axe des x, l’équation de la circonférence sera

Cr— fiP+(*— pOP—. ^=0,

et si l’on y fait ^=0, l’équation résultante x3 — 2<xjt — (a* — j— — ^=0

aura pour racines les abscisses OM et OM’ des points d’intersection de l’axe des x, c’est-à-dire de la sécante OMM, avec la circonférence ; donc

OM.OM'=«*-f p‘— r» :

or, a*-}- [J1 est le carré de la distance OC du centre à l’origine des coordonnées; donc le produit OM.OM,=OC— - r* est constant; donc OAI.OM'=ON.ON'; donc, etc.

70. L’équation [6] du n° 68 nous montre que la circonférence est une ligne du second ordre; de là cette question :

A quels signes reconnaître qu’une équation du second degré à deux indéterminées représente une circonférence?

Pour répondre à cette question , je considère l’équation générale du second degré à deux inconnues

J Rr^ -|- Cx3 Dp -j- Ear -{- F = 0 [a],

et je suppose qu’elle représente une circonférence. Soient (a , p) les coordonnées de son centre , r son rayon , et 0 l'angle des axes des coordonnées , cette circonférence aura aussi pour équation :

(S— £)“+(*— < «)’+2(, J— P) (*— «) cosO— r*=0, ou, en développant et en ordonnant,

r’-j- 2 cos 0 . xr 4- x* — 2( B 4- a co3 6) y — 2 (a 4- p cos 0)tr +(7+ P‘+2«Tcos0 --r*)=0 [b].

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Ainsi , pour que l’équation [«] puisse représenter une circonférence, il faut et il suffit que l’on puisse assigner aux quantités a, ^ et r, qui déterminent cette circonférence, des valeurs réelles et finies, telles que les équations [a] et [4] deviennent identiques. En conséquence, je divise tous les termes de l’équation [«] par A, et j’égale les coefficients de l’équation résultante aux coefficients des mêmes puissances de a; et de^ dans l’équation [4], ce qui me donne les cinq équations suivantes :

?=2cos9, ^ = 1, ^ — — '2(p-f-acos0),

•£= — 2(a-J-pcos 6), ^ =<**-]- p*-j-2apcos0 — r *.

Les deux premières sont indépendantes de et, p et r; ainsi elles expriment deux conditions nécessaires pour que l’équation [a] puisse représenter une circonférence. Les deux équations suivantes, étant du premier degré entre les deux inconnues a et (î, déterminent pour ces quantités des valeurs

. EcosO — D DcosO — E

** SAsin’O ’ “ 2Asin*0

toujours réelles et finies ; car A ne peut pas être nul , sans quoi B et C le seraient, en vertu des deux premières conditions, et alors l’équation [«] se réduirait au premier degré. Il ne reste donc plus qu’à voir si la cinquième équation donnera pour r une valeur réelle et finie. En conséquence , on y substituera à la place de a et de p les valeurs que nous venons de trouver, et on en déduira , après avoir fait les réductions,

r=— -X— . v’D’4- E1 — 2DEcos0 — 4AFsin*8.

SAsinO 1

Ainsi, pour que l'équation [«] représente une circonférence, il faut et il suffit que ses coefficients satisfassent aux trois conditions suivantes :

^ = cos 9 , — A=C — D!-j-E’ — 2DE cos 9 — 4 AF sin’ 6 > 0 .

Si les axes des coordonnées se coupent à angles droits , on voit que B=0; donc pour que l'équation générale du second degré représente une circonférence rapportée à des axes rectangulaires , il faut qu'elle ne renferme pas le

produit des deux variables, que les coefficients de leurs carrés soient égaux, et que la condition