E*— 4AF 4A

Or, le premier membre de cette équation exprime le carré de la distance du point ( x,y ) au point ^ ^ : donc eHe signifie que le carré de cette distance est égal à la quantité positive et constante ? ; donc elle représente

et dont le

-, v/D’+E’— 4AF

une circonterence qui a pour rayon — ^

centre a pour coordonnées — et — En conséquence, on prendra sur les axes des x et des y des distances OA= — — , OB = — on mènera parles points A et B Fig. 23.

des parallèles aux axes des ordonnées et des abscisses, et du

. s „ ' , , . y/D’-f-E’ — 4 AF

point L. ou elles se coupent, avec un rayon égal a —

on décrira une circonférence qui sera le lieu de l’équation [10]. x

Si D’-j-E1' — 4AF=0, ce cercle se réduit au point C, et siD’-j-E' — 4AF<0, l’équation [10] ne représente plus rien.

Exemples. Construire les lieux des équations *+2 4— r.

fi-^-/-\-x>=0 et :y-\-j? — 2y-\~. r-j-2=0 :

les deux premières sont rapportées à des axes rectangulaires , la troisième à deux axes qui font un angle de 60°, et l’unité linéaire est le centimètre.

72. Cherchons actuellement l’équation polaire de la circonférence. Appelons a et (3 les coordonnées du centre C, Fig. 21. w et p celles d’un point quelconque M' de cette circonférence, nous aurons, en vertu de l’équation [5] du n” 67,

p* — 23 cos (w — a)p-J-jî*>- h ^=0 [11]

pour l’équation demandée. Elle est du second degré , parce que la direction d’un rayon vecteur coupe en général la circonférence en deux points.

On peut tirer de cette équation plusieurs propriétés importantes de la circonférence.

En effet, le dernier terme de l’équation [11] est constant; donc le produit des deux racines l’est aussi ; mais ces racines sont les distances du pôle aux points où la direction d’un rayon vecteur quelconque rencontre la circonférence; donc deux sécantes qui partent d’un meme point sont réciproquement proportionnelles à leurs parties extérieures, et les parties de deux cordes qui se coupent sont réciproquement , proportionnelles.

11 est encore facile de prouver que les angles inscrits dans un même arc sont égaux. Pour le faire voir, plaçons le pôle sur la circonférence, en posant fi = r, et l’équation [11] se réduira à

p — 2rcos(w — a)=0 [12],

Fig. 2S. de sorte que la longueur de la corde OA que la circonférence intercepte sur l’axe polaire est

OA = 2rcosa

(on l’obtient en faisant <o = 0 dans l’équation précédente). D’après cela, si l’on joint AM, la propriété dont jouissent les côtés d’un triangle d’être proportionnels aux sinus des angles qui leur sont opposés, nous donnera

sinM 2rcosot

sin (w-j- M) 2/ ■cos (to — a)

En chassant les dénomhlateurs, réduisant çt transposant, il viendra

cos (M-J- ai) = 0 , ' d’où M = 90*> — a;

donc l’angle OMA est le même en quelque point de l’arc OAM que l’on place son sommet.

Cette valeur de M se réduit à 90°, si le centre est sur l’axe polaire; d’où l’on conclut que tous les angles inscrits dans une demi-circonférence sont droits .

Il serait facile de déduire de l’équation [11] la démonstration des théorèmes que nous avons rappelés au n" 68.

Veut-on enfin mener une tangente à la circonférence par un point extérieur, on prendra ce point pour pôle, puis on écrira que les deux valeurs qu’elle détermine pour p sont égales, puisque la tangente est une sécante dont on a fait coïncider les deux points d’intersection ; on trouvera ainsi

(J’cos’(to — «) — •(p1 — r*) = 0, ou bien r = ± (î sin (« — a).

Cette équation nous montre que rt(u — a) est l’angle opposé au côté r dans un triangle rectangle dont l’hypoténuse est le rayon vecteur £ du centre C. En conséquence, pour Fig. 24. construire ce triangle rectangle, on décrira une circonférence sur OC comme diamètre, et en joignant les points où elle coupe la circonférence donnée avec le pôle, on aura les deux tangentes. C’est la construction donnée dans les éléments de géométrie.