Problème. Trouver l'équation d’une ligne droite

Trois cas peuvent se présenter; car la droite dont on demande l’équation peut être parallèle à l’un des axes , ou les couper tous deux à l’origine, ou ailleurs qu’à l’origine.

Si la droite est parallèle à l’un des axes, à celui des^" par exemple, tous ses points auront la même abscisse; donc en désignant celle de l’un quelconque d’entre eux par x , et par a la distance de l’origine au point où la droite coupe l’axe des abscisses, on aura

Telle est donc l’équation de notre parallèle. Ce résultat est d’accord avec le n° 53.

74. Si a= 0, cette parallèle se confond avec l’axe des y\ donc

est l’équation de cet axe; et, en effet, tous ses points jouissent exclusivement de la propriété d’avoir leurs abscisses égales à zéro.

On verrait de même que l’équation de l’axe des x est

75. Supposons maintenant que la droite dont on cherche Fig. 26. l’équation passe par l’origine; et soient M, M'.... des points quelconques de cette droite. Si nous tirons leurs ordonnées

MP, M'P* nous formerons des triangles MOP, M’OP',....

qui seront tous équianglcs, et qui, par conséquent, auront leurs côtés homologues proportionnels ; donc MP M'P'

OP OP' etc‘

Ainsi, le rapport qui existe entre l’ordonnée d’un point quelconque et son abscisse est constant; donc, en l’appelant a , et désignant par x et par y les coordonnées d’un point quelconque de cette droite, nous aurons l’équation r

- = a ou v=ax.

Or, c’est là l’expression de la relation constante qui existe entre les coordonnées d’un point quelconque de la droite proposée ; donc c’est son équation.

Pour savoir ce que représente la constante a , j’observe que la droite A'A est déterminée par l’angle que lu partie de cette droite , qui s'étend, au-dessus de l’axe des x , fait avec la partie de cet axe sur laquelle on compte les abscisses positives : soit donc a cet angle qui est nécessairement moindre que 1 80°; alors nous tirerons du triangle OMP

MP sin a

OP sin(0 — a) ’

mais a est la valeur du rapport donc

sin a .

sin ((I — a) ’

* Ce résultat est tout à fait indépendant de la |>osition de la droite par rapport aux axes coordonnés ; car si l’on considère la droite M,ON et sur cette droite le point M,, nous aurons, dans le triangle M,CfP,

M,P sin a

OP sin (a — 0) *

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et ainsi la connaissance de l’angle a entraîne celle de la constante a, qui, comme on le voit, est égale au rapport des sinus des angles que la droite AA' fait avec les axes des x et des y.

76. Si la droite coupe les deux axes ailleurs qu’à l’origine, on pourra, pour en trouver l'équation, lui mener une parallèle par l’origine, et alors on verra que l’ordonnée de chacun des points de la droite proposée surpasse l’ordonnée du point de cette parallèle, qui correspond à la même abscisse, d’une quantité constante b , laquelle représente la distance de l’origine au point B, où la droite RS coupe l’axe des y. Si donc l’équation de OM est

y—ax,

celle de RS sera y = ax-\-b.

On peut vérifier que les coordonnées de tout point pris sur la droite qui fait avec l’axe des x un angle «, tel que

et qui coupe l’axe des^*à la distance b de l’origine, satisfont à l’équation

y—ax-fb.

Soient, par exemple, le point W de la droite R'S', x=OP, y— — N'P ses coordonnées ; substituons-les dans l’équation précédente, et remplaçons-y en même temp b par — OB'; il viendra

d’où

— NrP=rt.OP— OB',

— N'P-t-OB' sina

OP a sin(9 — a.)

Cette équation revient à

N'Q sina

B'Q sin (a — 6)’

qui est vraie, puisqu’elle n’est que le résultat de l’application au triangle B'N'Q de ce théorème de trigonométrie : Les sinut

car ici l’angle a est NOX ; mais les coordonnées de M, étant — M,P et OP, a est la valeur du rapport ■ ^ - ; donc

sin a sina

sin (a — ü) sin (9 — a)

162 GÊOMÊTBIE ANAtYTIQUE.

des angles d'un triangle sont proportionnels aux côtés opposés à ces angles.

Il est donc complètement démontré que l'équation d'une ligne droite est du premier degré à une ou à deux indéterminées.

77. Proposons-nous maintenant de trouver l’équation de la ligne droite en coordonnées polaires. On peut déterminer cette droite par l’angle a qu’elle fait avec l’axe polaire, et par la distance du pôle au point où elle coupe cet axe, ou bien par ce même angle a et par la distance p du pôle à la droite. C’est ce dernier moyen que nous allons employer.

Fig. î7. Soit donc RS la droite proposée; j’abaisse du pôle la perpendiculaire OA =p sur RS, et j'appelle tu et p les coordonnées polaires MOV et OM d'un point quelconque M de cette droite. Le triangle rectangle AOM nous donnera

p = p sinOMA;

mais l’angle u = a -}- OMA ; donc

sin(w — #)

Telle est l’cquation polaire de la droite RS.

Si cette droite passe par le pôle, p — 0, et comme alors p est nécessairement susceptible de toutes les valeurs, il faut que sin fa»— a) = 0, d'où w = Xx-|-a. Nous avons vu en effet (54) que cette équation représente une droite qui passe par le pôle, et fait avec l’axe fixe un angle a.

Si la droite est parallèle à l’axe polaire, a = 0, et alors son équation se réduit à

r sinw

Si la droite est perpendiculaire à l’axe polaire a=90°, et on a alors :