FO

mp

et que AO= — , n m-\-n

quantités que, pour abréger, nous représenterons respectivement par ml et par n'. Cela posé, soient x et y les coordonnées d’un point quelconque M du lieu demandé : nous aurons

FM = v//*— {- (x — n7J et MD=or-J-n'; donc, en vertu de l’énoncé,

vV+ (x — ni)' ni m'

On tirera facilement de là ,

«y’-j- (n* — m'). z* — 2 mnpx — 0 ,

équation du lieu ; car elle est l’expression de la relation qui existe entre les coordonnées d’un point quelconque de ce lieu.

Si m = n, l’équation ci-dessus se réduit à

y'—2px=0.

Nous allons discuter cette équation , c’est-à-dire tâcher d’en déduire la forme générale de la courbe qu’elle représentent). Pour cela, résolvons-la par rapportât : il viendra

j = ± \2px,

ce qui nous montre qu’à une même abscisse correspondent deux ordonnées égales et de signes contraires, et qu ainsi la courbe est symétrique de part et d’autre de l’axe des x , ce que nous avions prévu. Nous nous bornerons donc à suivre son cours au-dessus de cet axe. On voit encore, à l’inspection seule de l’équation ci-dessus , que y étant imaginaire pour toute valeur négative que l’on attribuera à x , son lieu n’a aucun point à gauche de l’axe des^; ensuite, que quand on supposera x= 0, on aura y— 0, et que x croissant depuis zéro jusqu’à -(-oo , y croîtra aussi depuis zéro jusqu'à -]-oo ; de sorte qu’à partir de l'origine la courbe s’éloigne indéfiniment f'S-.29. des deux axes des coordonnées dans l’angle YOX. 11 ne s’agit donc plus, pour avoir une idée nette de sa forme, que de déterminer dans quel sens elle tourne sa concavité. Or, il résulte immédiatement du n° 76 et du principe du n° 63, que notre courbe est constamment concave vers l’axe des x , sans quoi elle pourrait être coupée en plus de deux points par une ligne droite. Elle a donc la forme que représente la figure 29.

79. Il est facile de construire cette courbe par points; car l’hypothèse m = n signifie que chacun de ces points est également distant du point fixe F et de la droite fixe Diy. En conséquence, après avoir abaissé une perpendiculaire indéfinie .rFX sur Diy, on prendra le milieu O de l’intervalle FA, ce qui donnera le point où la courbe rencontre *rFX; puis, ayant mené, à droite de O, une parallèle quelconque Al PM' à la droite Diy, on la coupera aux points M et M' par deux arcs de cercle décrits du point F comme centre avec la distance AP pour rayon , et ces deux points AI et AI' appartiendront à la courbe ; car il est évident qu’ils sont équidis-

tants du point F et de la droite Diy. On obtiendra ainsi autant de points que l’on voudra , et , en les unissant par un trait continu, la courbe demandée sera tracée : on lui a donné le nom de parabole. Le point F se nomme le foyer ; la droite DIT est la directrice de la parabole, et le coefficient 2 p de x dans l’équation

y =2 px,

de cette courbe , en est le paramètre. La distance FA du foyer à la directrice est donc la moitié du paramètre.

80. Problème. Soit TAT' une tangente à une circon- Fig. 30. férence, et supposons qu'ayant joint l'extrémité 0 du diamètre qui va au point de contact A , avec un point quelconque B de la tangente, par la droite OB , on ait pris sur cette droite une distance OM = BN : on propose de trouver l'équation du lieu géométrique de tous les points déterminés de la même manière que le point M. La courbe ainsi formée se nomme une cissoïde.

En raisonnant comme au n° 78, on sera conduit à prendre le diamètre OA pour axe des abscisses, et à placer l’origine des coordonnées rectangulaires au point O. Cela posé, désignons par x et par y les coordonnées du point M , et par r le rayon du cercle donné. Il est clair que, puisque OM = NB, leurs projections OP et AQ sur l’axe des x sont égales, et réciproquement; ainsi, AQ = x, et par conséquent OQ = 2 r — x. Or, la similitude des triangles OMP et ONQ donne la proportion

x '.y'. : 2r — x : NQ;

mais, en vertu d’une propriété connue de la circonférence, NQ=y'x(2/- — x ); en substituant cette valeur dans la proportion précédente, on en tirera

V2r — x.(yj2r — x — x\Jx)= 0,

équation qui se décompose dans les deux suivantes :

2 /• — x=0 et y\J2r — x — xfx=0.

Cette dernière équation revient à

La première est l’équation de la tangente TAT' (153), et

est par conséquent une solution étrangère à la question ; l’autre est l’équation cherchée de la cissoïde , car elle n’exprime pas une propriété particulière aux coordonnées du point M , plutôt qu’à celles de tout autre point déterminé de la même manière ; c’est donc l’expression de la relation constante qui existe entre les coordonnées de chacun des points dfe la cissoïde, et par conséquent c’est l’équation de cette courbe (48).

Nous allons maintenant discuter l’équation [1 5] , c’est-àdire en déduire la forme générale de la courbe. On en tire

y=±\Jl7zrx [16];

ainsi , à une même valeur de x correspondent deux valeurs de^-, égales et de signes contraires, et par conséquent le lieu est symétrique de part et d’autre de l’axe des abscisses. Nous nous bornerons donc à suivre le cours de la courbe au-dessus de l’axe des x. On voit encore, à l’inspection seule de l’équation ci-dessus, que la cissoïde ne s’étend ni à gauche de l’axe des^', ni au delà de la tangente TAT, puisque x <( 0 et# )> 2r rendent la valeur de^- imaginaire, et qu elle passe par l’origine, car x=0 donne ^-=0; ce sont là des conséquences de sa génération. Cela posé, nous allons supposer que l’on fasse croître x d’une manière continue depuis zéro jusqu’à 2 r, et nous verrons ainsi que

x = 0 donne y=0,

x aug'° < 2r, ^'aug'%

ce qui nous indique qu’à partir de l’origine, la cissoïde s’élève au-dessus de l’axe des x, à mesure qu’elle s’éloigne de l’axe des y, et qu’elle s’étend à une distance infinie du premier de ces deux axes. Ainsi elle jouit de cette propriété remarquable de s’approcher indéfiniment de la tangente TAT' sans pouvoir jamais l’atteindre. Une pareille droite est dite asymptote de la courbe. On pouvait prévoir, d’après la génération de la cissoïde, que TAT' en était une asymptote ; car, de ce que OM=NB, il suit que MB=ON ; or, à mesure que le point B s’élève sur la tangente, la corde ON tend vers sa limite zéro, qu’elle n’atteint que quand AB est devenue infinie ; donc MB

diminue indéfiniment, et par conséquent la distance du point M . à la tangente TT' tend aussi vers zéro.

Il suit de là que les derniers éléments de la courbe tendent à devenir parallèles à TAT', et qu’ainsi la courbe finit nécessairement par présenter sa convexité à cette droite, et par conséquent aussi à OX. Pour savoir s’il en est de même dans la partie qui avoisine le point O, nous tâcherons de lui mener une Jangente en ce point. Soient donc M un point de la cissoïde, et x et^’ses coordonnées : si nous tirons la sécante indéfinie OM, nous formerons un triangle rectangle OMP, qui nous donnera

tangMOX=^.

Or, il est évident qu’à mesure que le point M se rapproche de l’origine, l’angle MOX tend vers une certaine limite, qui est l’inclinaison de la tangente au point O sur l’axe des abscisses* ; donc la tangente trigonométrique de cette inclinaison est la limite vers laquelle converge le rapport ~ lorsque x

tend vers zéro. Cherchons donc la limite de ce rapport, et, pour cela, divisons par x les deux membres de l’équation [1 6]; il viendra

z=±K/UZ-

ce qui nous montre que si x décroît indéfiniment depuis x—r, le rapport ^décroîtra indéfiniment depuis l’unité jusqu’à zéro, et que, par conséquent, la tangente menée au point O est précisément l’axe des x. C’est d’ailleurs ce qui résulte de la génération même de la cissoïde; car, si l’on fait tourner la sécante OMB autour du point O, on verra qu’à mesure que le point B se rapprochera de A, la distance NB, et par conséquent son égale MO tendra vers zéro, et qu’elle atteindra cette limite, quand le point B sera arrivé en A, c’està-dire, quand la sécante OMB coïncidera avec OX; mais alors

* Dans notre Géométrie , nous avons appelé tangente à une courbe en un point donné la limite vers laquelle tend une sécante que l’on fait tourner autour de ce point jusqu’à ce qu’un second point d’intersection soit venu se confondre avec le premier.

son second point d’intersection M avec la cissoïde se sera réuni au premier : donc cette sécante sera devenue une tangente. Donc, aux environs du point O, la courbe présente sa convexité à l’axe des x.

Il résulte de là que, si la courbe n’est pas constamment convexe vers l’axe des abscisses, chacune de ses branches aura au moins deux sinuosités, de sorte qu’une ligne droite pourrait couper la cissoïde en quatre points; or il suit du n“ 03 que cette courbe ne peut pas avoir plus de trois points en ligne droite; donc elle est constamment convexe vers l’axe des abscisses.

La cissoïde passe d’ailleurs par les extrémités du diamètre D0, puisque x = r donne aussi y=r\, donc elle a la forme représentée par la figure 30.

81 . Newton a trouvé le moyen de décrire la cissoïde d’un mouvement continu. Pour cela, il prend une équerre dont Fig. 3t. un des côtés SU soit indéfini , et dont l’autre côté SV soit égal au diamètre du cercle OA; puis, ayant prolongé ce diamètre d’une quantité OC'=r, il fait mouvoir son cquerre de toutes les manières possibles, de manière que le côté indéfini SU passant constamment par le point C, l’extrémité V de l’autre côté s’appuie sur le diamètre DD' indéfiniment prolongé ; alors le milieu de M de cet autre côté décrit la cissoïde, et il le démontre en prouvant que, si l’on tire la droite indéfinie ONMB, on aura OM=NB. Pour nous, nous allons chercher l’équation du lieu des points M, en prenant les mêmes axes coordonnés qu’au n“ 80. Désignons les coordonnées de M par x et par^*, et menons MP parallèle à l’axe des x. La similitude des triangles VMP, et VSQ donne la proportion

pm : sq : : vm : vq : : vp : vs,

ou bien x — r : SQ : : r \ VQ ; : VP ; 2r.

On tire de là x [ VC ; : VP : 2r;

car, à cause de l’égalité des triangles CQC et QSV, on a QS = CQ. Or, VP = \/r* — (x — r)*=/x(2/* — x), et par suite VC=^'-j- \ix[2r — x) ; donc enfin

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En égalant le produit des extrêmes à celui des moyens, il viendra

yyx(2r — x ) — x*=0,

équation qui se décompose dans les deux suivantes :

x—0 et y(2r — x) — xï=0.

La première de ces équations représente l’axe des y et est par conséquent une solution étrangère à la question; l’autre est celle même que nous avons trouvée au n° 80.

82. En cherchant l’équation de la cissoïde (80), nous sommes arrivés à une éqiiation qui renfermait à la fois celles

de cette courbe et de la tangente TT' ; et comme il est évi- Fig. 30. dent qu’aucun des points de cette droite ne peut appartenir à la cissoïde, nous avons dit que l’équation x — 2r=ü était une solution étrangère . Comment cette solution étrangère a-t-elle pu être introduite? Je remarque que la sécante ONB coupe la circonférence non-seulement au point N , mais encore au point O, et que la proportion qui nous a conduits à l’équation de la cissoïde devient identique lorsque OM = BO, de sorte que cette équation doit convenir aussi aux points déterminés de cette manière : mais alors le point M appartient à la tangente TT', quelle que soit la direction de la sécante OB : donc l’équation trouvée devait donner la cissoïde et la droite !Tf.

De même, dans la construction de Newton, les triangles PMV et QSY ne cessent pas d’être semblables, lorsque le côté SV de l’équerre tend à devenir parallèle à OA, de sorte Fig. 31. que l’équation que l’on en tire doit convenir aux positions que prend le milieu M de ce côté SV, quand il est parallèle à OA; mais alors M décrit l’axe des y, donc nous devions trouver la solution .z=0.

83. En général, les solutions étrangères proviennent de ce que les conditions géométriques n’ont pas pu être exprimées par des équations qui ne convinssent qu’à elles seules, comme dans le problème du n" 80; ou de ce que l’élimination des inconnues auxiliaires(6o)aura introduit des solutions qui ne se trouvaient pasdans les équations primitives. Parcxempie, si l’une des équations du problème se présentait sous la forme

(x — a)t—m{jr — ô)=0, d’où t—"-y- ■

il est clair que les équations résultant de l’élimination de l’inconnueauxiliaire Useraient vérifiées par le couple (.r=a,^- =b), et il peut très-bien se faire que ce couple ne satisfasse pas aux autres équations du problème, et qu’ainsi le point (a, b') soit une solution étrangère à la question.

84. Problème. Trouver le lieu des points obtenus en Fig. 32. prolongeant d’une quantité constante m , les droites menées d’un point face O à une droite indéjinie RS.

On verra que toute la partie de la courbe située à gauche de RS est une solution étrangère à la question; que si la distance OÀ = « est plus grande que m, le point ü, dont les coordonnées vérifieront l’équation du lieu, sera tout à fait séparé des deux branches de la courbe représentée par cette équation ; mais que , si a=m ou est <[ m , la courbe passera par O.

§ IV. Construction des équations.

85. Descartes a déduit du principe que nous avons exposé au n° 82 , une méthode géométrique pour résoudre les équations numériques. Soit, en effet, F(.r) = 0 l’équation proposée : il est clair que si , en transposant une partie de ses termes dans le second membre , on la met sous la forme

on pourra poser

J—f(x) et ./=/.(*)>

et on formera ainsi deux équations à deux inconnues qui seront telles qu’en éliminant^ entre elles, on retombera sur la proposée F(.z)=0.

li en sera de même si, ayant choisi arbitrairement une équation à deux inconnues <p {ce, ^)=0, on pose l’équation , jr)=y(x1ÿ) F(.r)= 0 , dans laquelle it(x,ÿ) représente une fonction entière quelconque de x et de^-; car il est clair que l’équation finale obtenue en éliminant y entre <p(a-,^)=0 et y)—0 sera F(x)=0.

On voit donc qu’il y a une infinité de manières dé former deux équations à deux inconnues ç(ar,y)=0 et ij;(.r,^')==0 qui jouissent de cette propriété qu’en éliminant^* entre elles on obtienne pour équation finale 1 équation même F(a:)=0. On construira donc à V échelle les lieux géométriques de ces

deux équations et , en mesurant les abscisses de leurs points d’intersection , on aura les valeurs des racines réelles de l’équation F(ar)=0.

11 faut observer qu’en vertu du théorème de Bezout sur le degré de l’équation finale ( algèbre , *579), il faudra que le produit des degrés des deux équations ç(.r, y)=0 et /)=0 soit au moins égal au degré de la proposée.

Il faut encore qu'à c/uique racine réelle de l'équation proposée F(.r)=0, il répontle une râleur réelle de y, c’est-àdire que les lieux des équations <p(x, /) = () et /) — () doivent se couper en autant de points ([lie l’équation F(.z) = 0 a de racines réelles. Ainsi, par exemple, si l’on avait l’équar tion xl -{- 4(/x -)- — 0 , quoiqu’elle provienne de l’élimination de y entre les deux équations

i7,-j-.r1-|-3«x-}-as=0 et y' — ax—0,

on ne pourrait pas obtenir les valeurs de ses racines en construisant les courbes représentées par ces équations, parce que ces courbes ne se coupent pas , comme il est facile de le voir. Mais, si l’on pose x>=ay et qu’on remplace a? par ay dans la proposée, on aura une équation y-fhx-\-a = 0, qui sera telle qu’en éliminant y entre cette équation et x3 — ay, on trouvera 0 pour équation finale.

Or, pour chaque valeur réelle de x tirée de cette équation , l’équation y-V-àx-\-a=Q donnera une valeur réelle pour de sorte que les lieux des équations

xi=ay et y-\-Ux-\-a—0 se couperont en autant de points que l’équation proposée x'-\-hax-\-a'=Q

a de racines réelles, et par conséquent en mesurant les abscisses des points d’intersection de ces deux lieux géométriques, on obtiendra les racines de la proposée.

Le procédé que nous avons indiqué (150 et 151) pour construire la courbe représentée par une équation à deux variables, suppose la résolution algébrique de cette équation par rapport à l une des variables, de sorte que la méthode actuelle deviendrait, en général, illusoire, si les équations cp(x, ÿ)=0 et <{'(.£, J>')=0 étaient d’un degré supérieur au second par rapport à chacune des deux inconuues. La difficulté

172 GÉOMÉTRIE ANALYTIQÜE.

de cette méthode consiste donc à choisir les équations <p(jr,/)=0 et de manière qu’on puisse les construire le plus

simplement possible, et nous verrons, dans un instant (88 et 89), que, quand l’équation F(.r)=0 est du troisième ou du quatrième degré, la détermination géométrique de ses racines est d’une facilité qui ne laisse rien à désirer.

Ces constructions, qui avaient vivement préoccupé Descartes et les géomètres qui l’ont suivi, ont perdu beaucoup de leur importance, depuis que les méthodes d’approximation ont atteint le degré de perfection où elles sont arrivées aujourd’hui; toutefois, elles peuvent être encore employées utilement pour obtenir les racines réelles d’une équation numérique, avec une première approximation que l’on pourra pousser ensuite plus loin, au moyen des procédés que l’on enseigne dans l’algèbre, et surtout pour reconnaître le nombre des racines réelles d’une équation donnée, ainsi que nous allons le faire voir par un exemple.

Soit l’équation

x*— 2^— xJ + 2x-f-2-f 0 [a].

Je pose tt?=y [&],

puis je remplace or1 par^” dans l’équation précédente, ce qui donne

y— 2y* — xy—y-\-2x-\-2=0 [c].

Ainsi l’équation [a] est le résultat de l’élimination de y entre les deux autres, et comme les valeurs de x tirées de [a] doivent être substituées dans [/;], si l’on veut avoir les valeurs correspondantes de y, on voit que nos deux courbes auront certainement autant de points communs qu’il y a de racines réelles dans la proposée. Il s’agit donc de les construire; or, si l’on suppose que les coordonnées soient rectangulaires, le Fig. 18. lieu de la première est la courbe TOT (82) : quant à l’équation [cj, je la résous par rapport à x , et je trouve

de sorte que cette équation [e] revient à

elle représente donc (87) les lieux des équations y — 2=0 et x — 1 = 0.

Or celui de la première est une parallèle U U' menée à l’axe des .r, à la distance 2 de cet axe. Quant à l’équation

on reconnaîtra facilement qu’elle représente une courbe V V' symétrique par rapport à l’axe des abscisses, qui coupe l’axe des x à la distance — 1 de l’origine, celui des^y à la distance rtl de cette origine, et s’étend indéfiniment dans les angles YOX etyOX. La courbe TT coupe UUf en un seul point A ; W en B et en C; d’où il suit que l’équation [1] a trois racines réelles, deux positives et une négative, et les six autres imaginaires. En mesurant les abscisses des points A, B, C, on aura des valeurs approchées des trois racines réelles.

86. Au lieu de poser x'—y, comme nous l’avons fait, on aurait pu égaler à y le premier membre de l’équation proposée, et on aurait ainsi formé l’équation

y=xs — 2x? — x ‘ — a?-\-2x-\-2.

Or, il est évident que, de tous les points du plan, ceux qui appartiennent à l’axe des x sont les seuls dont l’ordonnée soit nulle; par conséquent les racines de la proposée sont les abscisses des points où la courbe, représentée par l’équation cidessus, coupe l’axe des a:; mais on voit qu’à raison du degré où x entre dans cette équation, la construction de la ligne qu elle représente aurait été plus laborieuse que celle des lieux des équations [ b\ et [c].

*87. Toutefois, cette dernière manière de construire les racines de l’équation [«] mérite de fixer notre attention; car, outre sa généralité, e le offre encore le moyen de peindre aux yeux les démonstrations algébriques par lesquelles on établit la vérité de plusieurs des théorèmes sur lesquels est fondée la résolution des équations numériques à une seule inconnue.

Considérons, en effet, une équation à coefficients numériques <p(x):=0, et posons

Si, dans cette équation, on regarde x et^ comme des coordonnées courantes, elle représentera une certaine courbe, qui coupera Taxe des x en des points dont les abscisses seront les racines mêmes de l'équation <p(a;) = 0. Or, si l’on fait

\lh GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

croître x d’une manière continue depuis zéro jusqu’à -{- ce , et jusqu’à — oo , il est clair qu’à chaque valeur donnée à x répondra toujours une et une seule valeur réelle pour /, puisque la fonction est supposée algébrique et rationnelle, de sorte que la courbe représentée par l’équation j= ^x) s’étendra indéfiniment à droite et à gauche de l’axe des^y, ne pourra être coupée qu’en un seul point par une parallèle à cet axe, et sera continue; car il ne pourrait y avoir discontinuité dans son cours, que s’il y avait des abscisses sans ordonnées correspondantes, et c’est ce qui n’a pas lieu ici, comme nous venons de l’observer. .Cela posé , soient a et S deux nombres qui, substitués dans q(x), donnent deux résultats de signes contraires : les ordonnées correspondantes à ces abscisses seront donc aussi de signes contraires, et par conséquent si, pour fixer les idées; nous supposons que.r=a donne un résultat positif— J— ar, et que x—fi donne un résultat Fig. 33. négatif — (S', la courbe ira du point M (a, al) au point N(|3, — (3'); mais elle est continue ; donc elle coupera nécessairement l’axe des abscisses, au moins en un point compris entre les points P etQ; donc l’équation <p(jr)=0 a au moins une racine réelle comprise entre a et p. Donc, quand deux nombres , substitiu/s successivement dans le premier membre d'une équation, do/uient deux résultats de signes contraires , ces deux nombres comprennent au moins une racine réelle de cette équation.

Remarquons que cette démonstration ne suppose qu’une chose, savoir : que <p(x) varie d’une manière continue, quand x croit aussi d’une manière continue. Ainsi le théorème que nous venons d’établir sera vrai, quelle que soit l’équation proposée q(x)=0, qu’elle soit algébrique ou transcendante, pourvu que son premier membre satisfasse à cette condition ; mais il n’y a que les équations algébriques, rationnelles et entières, pour lesquelles il soit applicable sans aucune restriction.

L’inspection seule de la figure suffit pour montrer qu’en allant du point M au point N, la courbe peut couper plusiers fois l’axe des x , mais que le nombre de ses intersections est nécessairement impair; que si , au contraire, les deux points M et N sont d’un même côté de l’axe des abscisses, la courbe pourra ne pas rencontrer cet axe , mais que , si elle le coupe ,

ce sera un nombre pair de fois; d’où résulte cet autre théorème :

Lorsque deux nombres comprennent un nombre impair de racines d’une équation , ces nombres , substitués dans son premier membre, donneront deux résultats de signes contraires, et réciproquement ; mais ils donneront deux résultats de mêmes signes , si le nombre des racines qu’ils comprennent est zéro ou un nombre pair , et réciproquement *.

Nous avons insisté sur les démonstrations de ces deux théorèmes d’algèbre, pour bien faire sentir la correspondance intime qui existe entre l’algèbre et la géométrie générale; car, comme le dit Monge, « 11 n’y a aucune construction géo- (f métrique qui ne puisse être traduite en analyse ; et lors- « que les questions ne comportent pas plus de trois incon- « nues, chaque opération analytique peut être regardée comme « l’écriture d’un spectacle en géométrie. »

88. Indiquons maintenant la méthode que Halle/ a donnée pour construire les racines des équations du troisième et du quatrième degré, et occupons-nous d’abord de ces dernières ; car il est facile de ramener une équation du troisième degré à une du quatrième, en multipliant tous ses termes par l’inconnue.

L’équation proposée devant toujours être rendue homogène si elle ne l’était pas (7), nous pourrons la supposer ramenée à la forme

x',-\-axi-\-abx*-\-a'cx-\-d'd= 0 [«].

* Observons que dans l’énoncé de ce théorème et dans celui du précédent , il faut avoir égard au degré de multiplicité de racines égales qui pourraient être comprises entre les deux nombres substitués, et c’est aussi ce qu'il faut faire dans la démonstration , eu regardant comme un point double, triple, quadruple, etc., celui qui résulte de 2, 3, 4, etc., intersections de la courbe avec l’axe des x; mais il est très-remarquable que si deux des points où la courbe rencontre l’axe des abscisses viennent à se réunir, cette courbe est aux environs du point de contact au-dessus ou au-dessous de cet axe, et qu’elle le traverse au contraire en ce point, s’il est formé de la réunion de trois points d’intersection. C’est ce que les courbes ponctuées MRS'N et MR'N représentent respectivement aux points S' et R', formés l’un de la réunion des points S et T, et l’autre de celle des points R, S et T, ou des points R et S'.

Nous voyons d’abord que ses racines ne peuvent pas être les abscisses des points d’intersection d’une ligne droite et d’un cercle ou de deux cercles entre eux, puisque le nombre de ces points ne saurait surpasser deux. Il faut donc, dans le cas actuel, employer deux lignes, l’une du premier et l’autre du troisième ordre, ou bien deux courbes du second ordre. Halley a trouvé que l’on pouvait faire usage de la parabole et de la circonfcrrtice. Pour le faire voir, je pose

•**= my [b],

équation d’une parabole dont le paramètre est la quantité indéterminées, si nous supposons que les axes coordonnés soient rectangulaires (7 8 et 79); puis, en appelant (a, (3) les coordonnées du centre du cercle , et r son rayon , l’équation de sa circonférence sera

Cr~ w+(x-*y=,> [c].

J’élimine^ entre ces deux équations, et l’équation finale

.r1 — 2 x5 — 2m1 ctx -j- p’ — r*)=0 [c/] ,

-j- ni ‘ *

a pour racines les abscisses des points d’intersection de la parabole et du cercle ; si donc on veut que ces abscisses soient les racines de l’équation proposée, il faudra que l’on puisse identifier les deux équations [n] et [r/] , en donnant aux inconnues rn, a., (2 et r des valeurs réelles et finies. Or, on voit immédiatement que cette identification est impossible, à cause du terme æt5, que renferme l’équation proposée. Il faudra donc introduire un terme du troisième degré dans l’équation [rf], et il suffira pour cela d’y changer x en x-\-h, h étant une indéterminée*; mais il sera préférable de commencer par faire évanouir le second terme de la proposée, avant d’entreprendre la construction de ses racines. Considérons donc l’équation '

x* -j- nbx' -}- d'ex -j- câd =0,

dans laquelle on pourra supposer a positif, et identifions-Ia avec [d] : il viendra

nt* — <lm$=ab, — 2 m'a=câc, /??’(£’ -[-a! — -r* )=nid .

* Nous verrons (S)3) que cela revient à faire glisser l’origine sur l'axe des x d’une quantité égale à h

On tire de ces équations

Les valeurs de jî et de a seront toujours réelles et finies ; quant à celle de r, il suffira, pour qu elle soit aussi réelle, que l'on ait

ac — kdm'f> 0,

condition à laquelle on pourra satisfaire, puisque m est indéterminée et que a est positif. Donc , il sera toujours possible de construire les racines d'une équation du quatrième degré par l’ intersection d’une parabole et d’une circonférence. Supposons que l’on fasse m—a , on aura

a .=■ — — 4 ad,

et notre cercle sera facile à tracer, si ( a — c’est-à-dire, si la valeur de r est réelle.

89. Considérons maintenant l’équation du troisième degré, privée de son second terme,

x,rba,x-|-a!i=0.

Je multiplie tous ses termes par x , ce qui la ramène à l’équation du quatrième degré

x' ± cfjf- {- a'bx =0 [e] ,

qui a les mêmes racines que la proposée, et qui a, en outre, la racine zéro. Comme la valeur trouvée plus haut pour /-est toujours réelle, quelle que soit la valeur de m , quand l’équation n’a pas de terme indépendant de x , je pose

x>=ap [/].

et je substitue dans l’équation IV] , ce qui donne

j'±aj+bx = () [ S. 1,

de sorte que l’équation [ e ] est le résultat de l’élimination décentré ces deux dernières équations. Or, au système des équations [ /] et ["■] je puis substituer le système formé de l’équation [y ] et de leur somme

j'l-\-x,dzaj-\-bx=a/ [A].

Ainsi, en construisant (79 et 71) la parabole et la circonférence, représentées respectivement par les équations [/"] et [AJ, les abscisses de leurs points d’intersection , autres que l’origine, seront les racines de l’équation proposée.

90. Nous allons appliquer les méthodes que nous venons d’exposer à la question suivante :

Fig. 3*. Problème. Partager un arc donné AMB en trois parties égales.

Soient a le nombre des degrés de l’arc AMB, r le rayon de cet arc, x le sinus de son tiers : la valeur de x dépendra ( Trig . , 41) de l’équation

ïx+—- =° M»

ou, en rétablissant l’homogénéité (7) ,

r* sin n

Pour construire les racines de cette équation , je la multiplie par x, ce qui donne

puis je pose [*]»

et il vient, en substituant dans l’cquation précédente et divisant ensuite par -,

J* — Y^'-j-sin a . x= 0 ;

en ajoutant enfin cette équation avec la précédente, on trouvera

— 2r^-[-sina.x=0 [/].

Cette équation représente une circonférence qui passe par

l’origine, et dont les coordonnées du centre sont a = — -y-)

{3=/’ (71). En conséquence, pour la construire, je prends le diamètre OA pour axe des ordonnées, et le diamètre OA', qui lui est perpendiculaire, pour l’axe des abscisses; puis, ayant prolongé le sinus BP de l’arc AMB jusqu’en B', je tire par le milieu de B'P une parallèle à l’axe des^r, et du point C, où cette parallèle coupe la tangente menée au point A à la

circonférence, avec CO pour rayon, je décris une circonférence, qui est le lieu de l'équation [/].

Actuellement, je remarque que le paramètre de la parabole

représentée par l’équation [/f] étant si je prends OF et OD

égaux à g, les points F et D seront le foyer et le pied de la

directrice (79), de sorte qu’il sera facile de construire cette courbe.

La parabole et la circonférence se coupent aux points R, R' et R", de sorte que OQ, OQ' et — OQv, sont les trois ra-

cines de l’équation [/]. Or, ces racines doivent être sin

sin^l2O°-j-0 =sin ^60° — 0 etsin^240°-j-^; mais comme

l’arc AMB = <z est j> 90° et < 180°, ou voit que g > 30°

et < G0% et que ^60° — 0 < 60° — 30° = 30° ; doue sin | > sin ^G0° — 0 ; ainsi OQ est le sinus de l’arc g, et par

conséquent l’arc AN est le tiers de l’arc donné.

11 serait facile, en suivant la même marche, de construire un enhe qui soit m fais plus grand qu'un autre cul>e donné, de sorte que ces questions, qui présentaient de si grandes difficultés aux géomètres grecs, ne sont plus, pour les modernes, que de simples jeux de calcul*.

* C’est pour résoudre le problème, si célèbre rhet les anciens, de la duplication du cubr que Diodes avait inventé la cissoîde. On peut voir, dans la première édition de cet ouvrage , comment il y était parvenu.