CHAPITRE III

91. On conçoit, et nous l’avons d’ailleurs déjà remarqué (nM 68 et 76), que l’équation d’une ligne dépend non-seulement de sa forme, mais encore de sa position par rapport aux axes des coordonnées, de sorte que cette équation doit contenir deux sortes de termes : les uns qui tiennent à la nature de la ligne qu elle représente, et les autres à la situation de cette ligne relativement aux axes des coordonnées. Ainsi, dans les différentes formes qu’elle peut prendre, l’équation de la circonférence, rapportée à des coordonnées rectilignes, renferme toujours les carrés des deux variables x et y, mais tous les autres termes peuvent en disparaître successivement. Par conséquent il sera possible, en changeant convenablement l’origine et la direction des axes , de faire évanouir de l’équation d’une ligne un ou plusieurs des termes de la seconde espèce, ce qui ramènera cette équation à une forme plus simple, et permettra de reconnaître plus facilement la nature de cette ligne, les sinuosités de son cours et ses différentes propriétés.

92. L'opération par laquelle on passe ainsi d’un système de coordonnées à un autre se nomme la transformation des coordonnées. Pour l’effectuer, on cherche les valeurs des anciennes coordonnées d’un point quelconque du plan en fonction des nouvelles, et on substitue ces valeurs dans l’équation proposée : de cette manière, l’équation qu’on obtient appartient toujours à la même ligne; mais cette ligne est rapportée aux nouveaux axes.

Nous allons d’abord chercher les formules qui servent à passer d’un système de coordonnées rectilignes à un autre système de coordonnées rectilignes, puis nous verrons comment on peut transformer en coordonnées polaires une équation relative à des coordonnées rectilignes, et réciproquement.