Au lieu d attaquer le problème de la transformation

des coordonnées rectilignes en d’autres coordonnées rectilignes dans toute sa généralité, nous supposerons d’abord que l’on déplace l’origine, en conservant aux axes leur direction ; ensuite que l’on change la direction des axes sans déplacer l’origine, et de ces deux cas particuliers nous déduirons immédiatement le cas général, celui où l’on change à la fois l’origine et la direction des axes.

Supposons donc que les nouveaux axes des coordonnées soient parallèles aux premiers, et appelons-les jSO'X! ety'OlY'. Fig. 3k Leur position sera déterminée par les coordonnées de la nouvelle origine, coordonnées qui seront susceptibles de prendre toutes les valeurs comprises entre — oo et -J- oo . Désignonsles par a et par b , de sorte que OA = a et AO* = b. Soient M un point quelconque du plan, OP=.ret PM=^*, ses coordonnées primitives, et Ô’P,==a/ et MP,=^, ses nouvelles coordonnées : on a évidemment

0P=0A4-0'P', ou .r=rt-4-j/, \ et MP=0'A-fMP', ou /=b-\~y ) L1-*’

Telles sont les formules demandées.

Quoiqu’on les ait obtenues en considérant le cas particulier où les coordonnées des points M et O' sont positives, elles n’en sont pas moins générales, pourvu que l’on ait égard aux variations de signes que peuvent éprouver ces quantités.

Pour le prouver, il suffit de faire voir que, si l’un de ces points vient à éprouver un déplacement qui fasse changer le signe de l’une de ses coordonnées, les équations [1] subsisteront encore, en ayant égard au changement de signe de cette coordonnée. Supposons donc que les nouveaux axes soient sé'X." et y "Y", auquel cas, l’ordonnée de la nouvelle origine est négative, et considérons toujours un point M dont les ordonnées soient positives ; on aura évidemment MP=MP"— 0"A'; mais MP=/, MP"=/' et O "A!=—b; donc on a encore y=yu -V-b y etc.

Les formules [1] nous apprennent que, pour passer d'un système d’axes quelconques à un système d’axes parallèles à ceux-ci , il faut remplacer, dans t équation de la ligne que l’on considère , chaque coordonnée par cette meme coordonnée augmentée de celle de la nouvelle origine.