Remarquons que cette transformation d’axes revient

Diqitizec

à faire glisser la courbe, de manière que chacun de ses points décrive une droite égale et parallèle à celle qui va de la nouvelle origine à l’ancienne; car, si l’on tire par le point M une droite M ni égale et parallèle à CfO, il est clair que les coordonnées du point ni par rapport aux axes X.r et Y y sont égales à celles de M relativement à X'u/et de sorte que le point ni est placé, à l’égard des axes primitifs , identiquement de la meme manière que le point M l’est par rapport aux nouveaux. ( Cela résulte de l’égalité des triangles niQjj et MO'F.)

9 o. Lemme. Si l'on projette , sur une ligne droite, les côtés d'un polygone rpiclconriue , la somme des projections des côtés qui sont dirigés dans un sens est égale à la somme des projections des côtés qui sont dirigés dans le sens contraire.

tg. 3fi. Soient, en effet, ABCDE un polygone concave ou convexe, plan ou gauche, et U'U une droite quelconque, sur laquelle on projette sou contour : si l’on conçoit qu’un point matériel se meuve sur ce contour, nous regarderons comme dirigés dans le même sens, ou en sens contraire, les côtés qu’il parcourra en s’éloignant ou en se rapprochant d’un plan MN, mené perpendiculairement à la droite U'U, et de manière à ne pas rencontrer le polygone ABCDE. Ainsi, nous dirons que h-s côtés AB, BC, CD sont dirigés dans le même sens, et que les côtés DE et EA le sont dans un sens contraire à celuici. Cela posé, menons par les différents sommets de notre polygone, des plans perpendiculaires à U'U; et soient ainsi A'B', B’C, CD', etc., les projections de ses côtés sur cette droite : ces projections mesurent évidemment les différences des distances des sommets du polygone au plan MN; par conséquent la quantité, dont notre point mobile s’est éloigné ou s’est rapproché de ce plan, quand il a parcouru un côté du polygone, est précisément égale à la projection de ce côté sur UU'. D’ailleurs, il est évident que la quantité dont il se sera éloigné de MN en parcourant le contour du polygone est égale à celle dont il se sera rapproché de ce plan, pour revenir au

(>oint de départ : donc la somme des projections des côtés que e point décrira eu s’éloignant de MN est égale à la somme des projections des côtés qu’d parcourra en s’en rapprochant. Notre lemme est donc démontré.

96. Cherchons maintenant les formules nécessaires pour passer d’un système de coordonnées obliques à un autre système de coordonnées obliques ayant la même origine. •

Nous déterminerons la position des nouveaux axes, en nous donnant les angles a et a!, que font respectivement , avec l’ancien axe des abscisses positives, les parties des nouveaux axes, sur lesquelles sont comptées les abscisses et les ordonnées positives. Ainsi .rX et^Y étant les axes primitifs, Fig. 3T. et x'X' et^Y' les nouveaux, on a X'OX = a et Y OX=a'.

Ces angles a et a! doivent varier depuis zéro jusqu’à 360’ pour que les droites OX' et OY' puissent prendre toutes les positions possibles autour de l origine O.

Cela posé, soient .r et vies anciennes coordonnées OP et MP d’un point M, et x! et ÿ les nouvelles coordonnées OP' et MP* de ce point; je mène OU perpendiculaire sur^Y, et je projette, sur cette droite, les côtés du quadrilatère OPMP'O, en rapportant les directions de ses côtés à l’axe Y y. En vertu du lemme (96), la projection du côté OP = .r sera égale à la somme des projections des côtés MP,= r/ et P'O::^.!/; car, par suite de la direction que nous avons donnée à l’axe OU, celle de PM est nulle : mais la projection d’une droite est égale au produit de cette droite par le cosinus de l’angle aigu que sa direction fait avec l’axe de projection (Trig., 66); et comme cet angle aigu est évidemment le complément de l’angle que le côté que l’on considère fait avec OY, nous aurons

xsinYOX=y si n Y'OY -j- J sin X'OY :

mais YOX=Ô, Y'OY=(Ô— «'), et X'OY=(6— a);

donc enfin x=

x' sin (0 — «)+/ sin(9 — a') sin 6

Ainsi, le numérateur de la valeur de x s’obtient en multipliant chacune des nouvelles coordonnées x1 et y* par le sinus de l’angle que sa direction fait avec l’axe des y : par conséquent, le numérateur de la valeur de y se formera en multipliant de même chacune des nouvelles coordonnées a/ et y1 par le sinus de l’angle que sa direction fait avec l’axe des x-, donc

x’ sin a 4 -y’ sin a'

' sin 9

Fig. 40.

18i GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Comme ces formules ont été obtenues au moyen d’une construction qui supposait que les axes des coordonnées fissent des angles aigus avec l’axe OU de projection, et que les coordonnées du point M fussent positives, on pourrait craindre qu’elles n’eussent pas tout le degré de généralité convenable. 11 n’en est rien cependant , ainsi que nous allons le faire voir, en observant qu’il suffit de vérifier l’une d’elles, la première, par exemple; car, en faisant les mêmes raisonnements sur la seconde, on en constaterait pareillement la généralité.

Supposons d’abord que l’angle X'OU soit obtus : la projection de OP sera égale à la projection de MP*, diminuée de celle de P'O; mais cette dernière est égale à aé multiplié par le cosinus de l’angle aigu X'OU', et ce cosinus est égal à sinX'OY = sin(a — 0) = — sin(0 — a); donc encore

X sin sin(9 — a )-f-^ sin(0 — a').

Actuellement si, en supposant que l’angle X'OU reste aigu, le point M a sa nouvelle abscisse négative , la projection de OP sera encore égale à celle de MP', moins la projection de P'O; mais cette dernière est le produit de OP' = — xJ par cos X'OU = sin(0 — a); donc encore

a:sinO = X? sin(0 — sin(0 — a').

Enfin , si l’angle X'OU est obtus et que la nouvelle abscisse du point M soit négative , la projection de OP sera la somme de celles de P'O et de MP'; mais OP'= — xJ; cosX'OU'=sinX'OY=sin(a — 0)= — sin(0 — a); donc, etc.

Il est donc prouve que, pour rendre la formule applicable à tous les cas, il suffît d’avoir égard aux signes des coordonnées et à ceux des lignes trigonométriques; car on comprend que ce que nous avons dit de l’axe des xJ s’appliquerait également bien aux autres axes.

Les formules

x' sin (8 — a) -\~y sin (0 — a')