OC
sinû
x' sin a -j-é sin a y sin 8
serviront donc à passer d'un système de coordonnées obliques à un autre système de coordonnées obliques, en conservant l’origine.
97. Remarquons que cette transformation de coordonnées revient à imprimer à la courbe un mouvement de rotation, qui a pour centre l’origine, el pour mesure l’angle a, si l’angle des nouveaux axes est égal à celui des premiers. En effet, un point quelconque M «le la courbe viendra ainsi oc- Fig. 41. cuper, à l’égard des anciens axes, une position m identique à celle où il se trouve par rapport aux nouveaux; car l’angle MO/n étant égal à X'OX, on voit que les triangles OMP* et Qrnp sont égaux, et qu’ainsi les deux coordonnées mj> et O p
du point m, relativement aux anciens axes, sont égales à celles R1P' et OP' du point M par rapport aux nouveaux.
98. Si les axes primitifs sont rectangulaires, on a sin 9=1 , sin(0 — a) = cos a, et sin (9 — a') = cos a; et les formules [2] deviennent
x = cos a -(-/cos a', )
y=x' sin a -j-ÿ
sin i
au moyen desquelles on passera d’un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques.
99. Si les nouveaux axes sont aussi rectangulaires, comme les anciens, on aura
al — a = 90(, d’où sina,=cosa, et cosa' = — sina, et les deux dernières formules deviendront alors
x = al cos a — ^sin
jr — al sin a -f-/7 cos e formules qui servent à passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de coordonnées aussi recta titulaires.
100. Si les nouveaux axes seulement sont rectangulaires, on aura
a' — a =90°; d’où sin a'= cos a, et sin (9 — a')= — cos(0 — a). En substituant ces valeurs dans les formules [2], on trouvera
x'sin(0 — a) — y ' cos(8 — a)]
sinO
x'sina-f y cos a
sin 9
formules au moyen desquelles on passera d’un système de coordonnées obliques à un système de coordonnées rectangulaires, ayant la même origine.
101. Supposons actuellement que l'on veuille changer à la fois l’origine et la direction des axes; on mènera, par la nou- Fig. 42. velle origine Cf, deux axes a/'X." et /' \'r parallèles aux anciens, puis on passera de ces axes primitifs à ceux-ci, au moyen des formules du n°93.
x—a- j-x77 et j-=b-
et il ne s’agira plus que de passer des axes x^X" et /'Y" aux axes x7X' et^Y *; ce qui se fera en remplaçant x1' et /' par leurs valeurs données par les formules [2], [3], [4] ou [5]. Ainsi, si les anciens axes et les nouveaux sont obliques, on aura
x — g I *sin (9~ «)+/ sin(8— a') sin 6 *
. , x' sin «4-r* sin a'
d’où l’on voit qu’ow obtendra les formules nécessaires pour changer à la fois t origine et la direction des axes, en ajoutant a et b respectivement aux second y membres des équations qui servent à changer seulement la direction des axes.
102. Il est important de remarquer que la transformation des coordonnées ne peut pas altérer la nature de l'équation que l'on considère, c’est-à-dire rendre cette équation algébrique ou transcendante, si elle était au contraire transcendante ou algébrique. En effet, on voit d’abord que les valeurs de x et de y étant des fonctions linéaires, c’est-àdire du premier degré, de x' et def, leur substitution dans une équation algébrique en x et en y* ne pourra pas conduire à une équation transcendante, et vice versa.
Si la proposée est algébrique, il est évident que son degré ne s’élèvera point par cette substitution, et je dis qu’il ne pourra pas non plus s’abaisser. En effet, s’il en était ainsi, il faudrait qu’en remplaçant dans cette seconde équation x7 et/ par leurs valeurs tirées des formules trouvées précédemment, on obtînt une équation d’un degré plus élevé; car on doit
* Il est bon de remarquer que le calcul à faire pour obtenir les formules cherchées serait assez compliqué , si on avait commencé par changer la direction des axes , pour déplacer ensuite l’origine.
ainsi revenir à l’équation primitive; or, ce degré ne peut pas augmenter, puisque les valeurs de J et de y1 sont des fonctions linéaires de x et de y; donc le degré d’une équation algébrique à deux indéterminées ne /ieut être altéré yar au ci me transformation de coordonnées. Ceci confirme l’exactitude de la class fication des courbes que nous avons indiquée précédemment (156).
103. 1 ^cs expressions les plus générales des anciennes coordonnées, en fonction des nouvelles, renferment les quatre indéterminées a, b, a et oé, et par conséquent l’équation d’une / courbe rapportée aux nouveaux axes contiendra aussi ces quatre indéterminées. On pourra donc, en général, faire évanouir quatre termes de cette équation en égalant leurs coefficients à zéro, ce qui donnera autant d’équations que nous avons d'iuconnucs a , b, a et a'. Mais on ne pourra pas se proposer d’en faire disparaître davantage, car alors on aurait plus d’équations de condition que d’indéterminées.
On voit par là que la transformation des coordonnées sera d’autant moins importante, pour simplifier l’équation d'une courbe, que cette équation sera d’un degré plus élevé, puisque le nombre des termes d’une équation augmente rapidement avec son degré*; aussi ne l’cmploie-t-on guère, dans ce but, que pour simplifier les équations des courbes du second ordre.
104. La transformation des coordonnées peut encore servir à reconnaître si deux équations différentes représentent une meme ligne, diversement située par rapport aux axes des coordonnées, ou deux lieux réellement distincts. On conçoit, en effet, que, dans le premier cas, il doit être possible de tracer deux axes qui soient placés, à l’égard du lieu de l’une de ces équations, absolument de la même manière que les axes auxquels le lieu de la seconde est rapporté le sont relativement à ce second lieu : par conséquent, en rapportant le premier lieu à ce nouveau système d’axes, son équation devra
* La formule qui donne le nombre «les termes d’une équation du degré m à deux inconnues, est [Algèbre, 4lî7)
.("'-MX'w-f-S)
de sorte que lorsqu’on a une équation complète du quatrième degré, on ne peut espérer que de réduire de 15 à 11 le nombre de ses ternies.
devenir identique avec celle de l'autre. On substituera donc les valeurs de x et de /données par les formules générales de la transformation des coordonnées dans l’une des équations proposées, et il faudra qu’on puisse la rendre identique avec l’autre, en disposant convenablement des deux quantités linéaires a et ù, et de l’une des deux quantités angulaires a et a*; car, les nouveaux axes devant faire les mêmes angles que les anciens, on a la relation a' — -a = 6. Si l’identification des deux équations est impossible, on en conclura que leurs lieux géométriques sont tout à fait distincts.
1" Exemple. Les équations
16/* — 2Uxr-\-0x> — 15/ — 20.r-|-25=0,
représentent-elles les mêmes lignes? (On suppose que les axes des coordonnées sont rectangulaires.)
Je substitue dans la deuxième les valeurs de x et de / données par les formules
x = «-[- £ cos a — /'sina, ^■=£>-j-.î/sina-}-/,cosa.
qui servent à passer d’un système d’axes rectangulaires à un autre système d’axes aussi rectangulaires, et en identifiant l’équation résultante avec la première des équations proposées , après les avoir divisées chacune par le coefficient de/*, on trouvera
, sin i cos i
cos’a
2l>sina — 2 sin a — cos a cü
COS 8
On en tire
15 Sécoss — 2cos»-|-sina
1 0 cos*a
25 b'—ïb — n—i
1 6 cos’a
tanga= — -, cosa = -, sina= — -, b= 1, a= — 3,
valeurs réelles et finies, qui vérifient les cinq équations précédentes. Donc les courbes proposées sont identiques.
2° Exemple. Deux courbes sont représentées par la même équation
mais l'une est rapportée à des axes rectangulaires , et l'autre
à des cures inclines P un sur Vautre de 1 50° : sont-elles identiques ou differentes?
Je prends les formules qui servent à passer d’un système de coordonnées rectangles à un système d’axes faisant entre eux un angle de 1 50°. Ces formules sont
.r=rt-)-.r,cosa — ^cos (30° — a), y = b- \-.d sina-J-^7 sin(30° — a);
Je les substitue dans l’équation proposée, et il vient
xî-f^r5-|-2 cos300J^'-j-6sin (30° — a)|2/-{-£sina 2x-j-a’ \
— acos(30° — a\ -\-a cosa —J— é/* [ =0,
d’où l’on voit que les deux courbes sont différentes; car, pour que l’équation précédente pût s’identifier avec
il faudrait que l’on eût cos30°=0, et l’on sait que cos 30°=^p.
105. Proposons-nous maintenant de chercher les formules nécessaires pour passer d’un système de coordonnées rectilignes à un s)stème de coordonnées polaires.
Soient xX et^Y les axes rectilignes, 0 l’angle qu’ils for- Fig. <3. ment ; (Y le pôle, et O' V l’axe polaire. Nous fixerons la position de ce nouveau système d'axes, en nous donnant les coordonnées a et b du pôle, et l’angle a que l’axe polaire Qf\ fait avec une parallèle menée par le pôle à la partie positive de l’axe des abscisses. Cet angle a peut varier depuis 0° jusqu’à 360°. Soient M un point quelconque, OP=.r et MP= y, ses coordonnées rectilignes, et 0'M=p et MO'V=w, ses coordonnées polaires. Je mène la droite OU perpendiculaire sur /Y, et je projette la ligne brisée OPMO'AO sur OU : nous aurons
arsinYOX=psinMOfY'-J-asinYOX, et par conséquent (95)
^•sinYOX=psinMO'X'-fisinYOX
Donc, en observant que MO'Y,=0 — « — a,
psin(9 — h — »)' sin 9
psinfoi-f-®)
sin 9
Comme ces formules ont clé établies en supposant que les axes des coordonnées rectilignes faisaient des angles aigus avec 1 axe de projection, que les coordonnées des points O* et AI étaient positives, et que (a-j-w) était moindre que 0, on pourrait douter de leur généralité; mais en raisonnant comme nous 1 avons fait au n° 96, on reconnaîtra facilement que celle crainte serait mal fondée*.
Si les axes rectilignes sont rectangulaires, les formules précédentes deviendront
ou bien
x — cl p oos fcj — j— Y
^=£-j-psin(w-|-a)j ; = tf--pcoswi p sin ü) i
si, de plus, 1 axe polaire est parallèle à l’axe des x et dirigé dans le sens des abscisses positives.
106. Si 1 on voulait revenir d’un système de coordonnées polaires au système primitif des coordonnées rectilignes, il faudrait tirer des formules [G], [7] ou [8J les valeurs de p et
* On peut, au reste, les vérifier facilement, en considérant, par exem- 4' P,e> , ‘a,s,de ,a fiioure A i Les angles 0 , o. et <x seront mesurés par les arcs oô, d,ibc et abert. Je projette le polygone OPMO'AO sur la perpendiculatre OU h Y/ : les côtes OP et MO' seront dirigés dans le meme sens par rapport à l’axe Yr, mais AO le sera en sens "contraire, de sorte
qUn i '3CÜOn ,<le 0P.sera ,ié'ale a la projection de AO, diminuée de celle de MO ; or, les projections de OP et de AO sont *sin9 et «sin 9. Quant à celle de MO , elle est égalé au produit de p par le cosinus de angle aigu forme par MO' avec OU, ou par le sinus de l’angle PMO', lequel sinus est égal à celui de MO'A, mais l’arc h, qui mesure cet angle, est égal à 1
dabc —la — da = [ 0) o — (360° — a)] :
donc la projection de MO' est psin(u) — = — psin(0 — « a);
doncenhn ta ' 1
x sin Ô = a sin 0 -{- p sin (9 — M a).
Donc la première des formules [G] convieut au cas actuel. On vérifierait de meme la seconde.
de w én fonction de x et de^*, et les substituer dans l’équation polaire. Supposons, par exemple, que les coordonnées rectilignes soient rectangulaires; on commencera par faire passer a et b dans les premiers membres des équations [7], ce qui donnera
x — <z=pcos(w-|-a), y — £>=psin(w-|-a), d’où l’on tirera facilement
t=\J(x— a)’-Kr— &T, tang(u+a)=£— £ [9],
et par suite (7 rig., 48 et 28), les valeurs de tang w, sin w, et cosw; au moyen de ces formules, il faudra éliminer p et w de l’équation proposée.
407. Ces mêmes formules [9] peuvent servir pour passer d’un système de coordonnées polaires à un système île coordonnées rectilignes rectangulaires. Nous observerons toutefois que, pour obtenir la position des axes sur lesquels on devra les compter, il faudra mener par le pôle O, et au-dessous de l’axe polaire, une droite OX' qui fasse avec cet axe un angle égal à *, et sur OX' une perpendiculaire OY * qui soit dirigée au-dessus de OX'. On prendra ensuite, sur les prolongements de ces deux droites, des distances OB et O’A respectivement égales à a et b, et en tirant par les points A et B des parallèles rX elyY à O'X' et à O'Y', on aura les axes des coordonnées. N’oublions pas que les distances a et b devraient être portées sur O'X' et sur OY' si elles étaient négatives.
Prenons pour exemple l’équation
p* — 2c cos w. p — cs=0.
De la formule tang(w-{-a)= -, je tire
d’où
tangw
cosw
y — b — (x — a) tanga
x — a-f-(r — b) tanga ’
(x — (7)cosa-j-(| — b) sina ^(x— a)’ -f (/—£)•
en substituant cette valeur et celle de p dans l’équation proposée, il viendra
( x — <i/~ \-(y- — b/ — 2c (x — a) cosa — 2 c(y — b) sin a — c’=0,
192 géométrie analytique.
qui représente une circonférence (70). Si l’on veut que l’origine soit au centre, il faudra disposer des indéterminées a, b et a, de manière à faire évanouir les premières puissances de .r et de JT (GO). En conséquence, on développera les calculs indiqués, et on égalera à zéro les coefficients de x et de y, ce qui donnera
a-j-ccosa=0, d’où a— — ccosa;
&-J-C sina = 0, d’où b = — csina.
Fig. 46. Ainsi, l’angle a reste tout à fait indéterminé. Pour construire ce centre, on mènera par le pôle la droite quelconque OX; et la perpendiculaire OY' à celle-ci; puis, ayant pris OC =c, on abaissera du point C une perpendiculaire CA sur OX', et le point C ayant pour coordonnées — OA = — ccosat et — OB= — csina, sera le centre. Remplaçant enfin a et b par leurs valeurs , l’équation de la circonférence se réduira à
de sorte que si du point C comme centre, avec un rayon égal à cv2, on décrit une circonférence, on aura le lieu de l’cqualion proposée.
GÉOMÉTRIE ANAtmQDB.
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